Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC
Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN.
a) Chứng minh 5 điểm A, B, C, E, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(M{N^2} = 4\left( {A{E^2} - A{C^2}} \right)\).
c) Gọi I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB, AC. Xác định vị trí của điểm M sao cho tích MI.MJ đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên \(AB \bot OB,AC \bot OC\)hay \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ \) (1)
Vì MN là dây cung của (O) và E là trung điểm của MN nên \(OE \bot MN\)(liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Suy ra: \(\angle OEA = 90^\circ \)(2)
Từ (1) và (2) ta có 5 điểm A, B, C, E, O cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) \(M{N^2} = 4\left( {A{E^2} - A{C^2}} \right)\)
Xét tam giác ABM và tam giác ANB có:
\(\angle A\) chung
\(\angle ABM = \angle ANB\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BM)
\( \Rightarrow \Delta ABM\)~ \(\Delta ANB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}\)(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\\ \Rightarrow A{B^2} = \left( {AE - ME} \right)\left( {AE + EN} \right)\\ \Rightarrow A{C^2} = \left( {AE - ME} \right)\left( {AE + ME} \right)\\ \Rightarrow A{C^2} = A{E^2} - M{E^2}\\ \Rightarrow M{E^2} = A{E^2} - A{C^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{M{N^2}}}{4} = A{E^2} - A{C^2}\\ \Rightarrow M{N^2} = 4\left( {A{E^2} - A{C^2}} \right)\end{array}\)
c) Kẻ \(KH \bot BC\) tại K, đoạn thẳng \(AO\) cắt (O) tại F, AO cắt BC tại H
Khi đó các tứ giác MKBI, MKCJ nội tiếp
\( \Rightarrow \angle MIK = \angle MBK\) (cùng chắn MK)
\(\angle MBK = \angle MCJ\) (cùng chắn MC)
\(\angle MCJ = \angle MKJ\) (cùng chắn MJ)
\( \Rightarrow \angle MIK = \angle MKJ\)
Chứng minh tương tự ta có \(\angle MKI = \angle MJK \Rightarrow \Delta MIK\)~ \(\Delta MKJ\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{MK}} = \dfrac{{MK}}{{MJ}} \Leftrightarrow M{K^2} = MI.MJ\)
\( \Rightarrow MI.MJ\) lớn nhất khi MK lớn nhất
Suy ra M là điểm chính giữa cung BC
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
