1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x,y)\) thoả mãn \((x - y)(x + 1) = y - 1\).2) Cho các số

Câu hỏi số 721396:

Vận dụng cao

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x,y)\) thoả mãn \((x - y)(x + 1) = y - 1\).

2) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn \(xyz = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(Q = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + \dfrac{4}{{x + y + z}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721396

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

1) \((x - y)(x + 1) = y - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + x - xy - y = y - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - xy - 2y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - y\left( {x + 2} \right) + 1 = 0 & (*)\\x = - 2 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 4 - 2 - 0 + 1 = 0\left( {v\^o \,\,l\'y } \right)\\x \ne - 2 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \dfrac{3}{{x + 2}}\end{array}\)

Do \((x,y)\) nguyên dương nên \(x - 1 + \dfrac{3}{{x + 2}} \in \mathbb{R} \Rightarrow x + 2 \in U\left( 3 \right)\)

Do x nguyên dương nên \(x + 2 > 2 \Rightarrow x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1\)

Vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)\) là cặp nguyên dương \((x,y)\) thoả mãn \((x - y)(x + 1) = y - 1\).

2) Ta có:

\(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - \dfrac{1}{{xy}} - \dfrac{1}{{yz}} - \dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{z}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{x}} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} \ge \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}} = x + y + z\) (vì \(xyz = 1\))

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{xyz}}}} = 3\)

\( \Rightarrow Q \ge 3\left( {x + y + z} \right) + \dfrac{4}{{x + y + z}} = \dfrac{4}{9}\left( {x + y + z} \right) + \dfrac{4}{{x + y + z}} + \dfrac{{23}}{9}\left( {x + y + z} \right)\)

Lại có:

\(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} = 3\)

\(\dfrac{4}{9}\left( {x + y + z} \right) + \dfrac{4}{{x + y + z}} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{9}\left( {x + y + z} \right).\dfrac{4}{{x + y + z}}} = \dfrac{8}{3}\)

\( \Rightarrow Q \ge \dfrac{8}{3} + \dfrac{{23}}{9}.3 = \dfrac{{31}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\dfrac{{31}}{3}\) khi \(x = y = z = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link