Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 5} \right)x + 1 - 2m = 0\left( 1 \right)\), với x là ẩn số.a) Giải

Câu hỏi số 721405:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 5} \right)x + 1 - 2m = 0\left( 1 \right)\), với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 3.

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

\({x^2} - 2\left( {m - 5} \right)x + 1 - 2m = 0\left( 1 \right)\)

c) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1}^2 - 2m{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2}^2 - 2m{x_2} + 1} \right) = 64\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721405

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 3\) vào phương trình.

b) Xét \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\).

c) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Thay \(m = 3\) vào (1), ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {3 - 5} \right)x + 1 - 2.3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\end{array}\)

Do \(1 + 4 + \left( { - 5} \right) = 0\) nên phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy khi m = 3 thì phương trình có nghiệm là \(x \in \left\{ { - 5;1} \right\}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left[ { - \left( {m - 5} \right)} \right]^2} - \left( {1 - 2m} \right) = {m^2} - 10m + 25 - 1 + 2m\\ = {m^2} - 8m + 24 = {m^2} - 8m + 16 + 8 = {\left( {m - 4} \right)^2} + 8 \ge 8\forall m\end{array}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của m.

c) Theo b, (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của m.

Áp dụng Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 10\\{x_1}{x_2} = 1 - 2m\end{array} \right.\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1) nên

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 - 2\left( {m - 5} \right){x_1} + 1 - 2m = 0\\{x_2}^2 - 2\left( {m - 5} \right){x_2} + 1 - 2m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 - 2m{x_1} + 10{x_1} + 1 - 2m = 0\\{x_2}^2 - 2m{x_2} + 10{x_2} + 1 - 2m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}^2 - 2m{x_1} + 1 = 2m - 10{x_1}\\{x_2}^2 - 2m{x_2} + 1 = 2m - 10{x_2}\end{array} \right.\)

Thay vào \(\left( {{x_1}^2 - 2m{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2}^2 - 2m{x_2} + 1} \right) = 64\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {2m - 10{x_1}} \right)\left( {2m - 10{x_2}} \right) = 64\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 10.2m.\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 100{x_1}{x_2} = 64\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m\left( {2m - 10} \right) + 100.\left( {1 - 2m} \right) = 64\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 40{m^2} + 200m + 100 - 200m - 64 = 0\\ \Leftrightarrow - 36{m^2} + 36 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow m = \pm 1\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {1, - 1} \right\}\) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1}^2 - 2m{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2}^2 - 2m{x_2} + 1} \right) = 64\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link