Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M thuộc đoạn thẳng OB (M khác O và B). Đường
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M thuộc đoạn thẳng OB (M khác O và B). Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D. Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt AC tại N và cắt đường tròn (O) tại K (K khác D).
a) Chứng minh tứ giác ADMN nội tiếp.
b) Chứng minh MN song song với BK.
c) Đường thẳng đi qua M vuông góc với MN cắt DK tại E. Chứng minh và MB = ME.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học chứng minh.
a) Xét tứ giác ADMN có: \(\angle AND = \angle AMD = 90^\circ \)
Mà hai góc này kề nhau hai góc cùng nhìn AD dưới một góc \(90^\circ \)
\( \Rightarrow \) A, D, M, N cùng thuọc một đường tròn hay tứ giác ADMN nội tiếp (dhnb) (đpcm)
b) Vì tứ giác ADMN nội tiếp (ý a) nên \(\angle AMN = \angle ADN\) (góc nội tiếp chắn cung AN)
Mà \(\angle ADN = \angle ABK\) (góc nội tiếp chắn cung AK)
\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ABK\)
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên \(MN//BK\) (đpcm)
c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MEN + \angle MNE = {180^0} - \angle EMN = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\\angle MBD + \angle BAD = {180^0} - \angle BDA = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\\angle MNE = \angle BAD\left( { = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,MD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle MEN = \angle MBD\)
\( \Rightarrow BDEM\) nội tiếp
Mà \( \Rightarrow \angle BMD = \angle BED = {90^0} \Rightarrow BE \bot ND\)
\( \Rightarrow \angle MEB = \angle MDB\) (cùng chắn cung MB) và \(\angle MBE = \angle MDE\)(cùng chắn cung ME) (1)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DN \bot AC\left( {gt} \right)\\BC \bot AC\left( {\angle BCA = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB = {{90}^0}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC\parallel KD\)
Gọi F là giao điểm của AB và DN
\( \Rightarrow \Delta MFD\)~\(\Delta NFA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle MDF = \angle NAF \Rightarrow sd\,cung\,BC = sd\,cung\,CK\)
\( \Rightarrow \angle BDM = \angle MDK\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MBE = \angle MEB \Rightarrow \Delta MEB\) cân tại M\( \Rightarrow ME = MB\left( {dpcm} \right)\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
