Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x

Câu hỏi số 721846:

Vận dụng

Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\).

3) Xét biểu thức \(P = AB\). Chứng minh \(P < {P^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721846

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{9 - 4}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{5}{3}\)

Vậy \(A = \dfrac{5}{3}\) khi \(x = 9\)

2) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 4\)

\(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{4 - x}}\)

\(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\)

\(B = \dfrac{{3(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}\)

\(B = \dfrac{{3\sqrt x + 6 - 2\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}\)

\(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

3) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 4\)

\(P = AB = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - 4}} = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\)

Xét hiệu \(P - 1 = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} - 1 = \dfrac{{\sqrt x + 3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

Ta có: \({P^2} - P = P(P - 1)\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0\) và \(\sqrt x + 3 > 0\)

Khi đó \(\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} > 0\) và \(\dfrac{3}{{\sqrt x }} > 0\) hay \(P > 0\) và \(P - 1 > 0\)

Suy ra \(P(P - 1) > 0\) hay \({P^2} - P > 0\)

Vậy \(P < {P^2}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.