Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 721966:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{b}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{c}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{a}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{1}{4}(ab + bc + ca).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721966

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(1 + {b^2} \ge 2b\)

Ta có: \(\dfrac{b}{{1 + {a^2}}} = \dfrac{{b + {a^2}b - {a^2}b}}{{1 + {a^2}}} = b - \dfrac{{{a^2}b}}{{1 + {a^2}}} \ge b - \dfrac{{ab}}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{c}{{1 + {b^2}}} = c - \dfrac{{c{b^2}}}{{1 + {b^2}}} \ge c - \dfrac{{bc}}{2}\)

\(\dfrac{a}{{1 + {c^2}}} = a - \dfrac{{a{c^2}}}{{1 + {c^2}}} \ge a - \dfrac{{ca}}{2}\)

Suy ra: \(P = \dfrac{b}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{c}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{a}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{1}{4}(ab + bc + ca) \ge \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Lại có: \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\)

Suy ra: \(P \ge 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{9}{4}\)khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.