Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 721966:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{b}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{c}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{a}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{1}{4}(ab + bc + ca).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721966

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \(1 + {b^2} \ge 2b\)

Ta có: \(\dfrac{b}{{1 + {a^2}}} = \dfrac{{b + {a^2}b - {a^2}b}}{{1 + {a^2}}} = b - \dfrac{{{a^2}b}}{{1 + {a^2}}} \ge b - \dfrac{{ab}}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{c}{{1 + {b^2}}} = c - \dfrac{{c{b^2}}}{{1 + {b^2}}} \ge c - \dfrac{{bc}}{2}\)

\(\dfrac{a}{{1 + {c^2}}} = a - \dfrac{{a{c^2}}}{{1 + {c^2}}} \ge a - \dfrac{{ca}}{2}\)

Suy ra: \(P = \dfrac{b}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{c}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{a}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{1}{4}(ab + bc + ca) \ge \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{1}{4}\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Lại có: \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\)

Suy ra: \(P \ge 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{9}{4}\)khi \(a = b = c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link