Cho đường tròn \((O;R)\) có đường kính AB, đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn

Câu hỏi số 721965:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \((O;R)\) có đường kính AB, đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại điểm \(A\), điểm \(C\) di động trên \(d\) sao cho \(C\) không trùng với \(A\) và \(CA > R\). Từ \(C\) kẻ tiếp tuyến CD của đường tròn \((O)(D\) là tiếp điểm và \(D\) không trùng với \(A\) ).

a) Chứng minh tứ giác AODC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi H là giao điểm của AD và OC, BC cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(K(K \ne B)\), đoạn thẳng \({\rm{CH}}\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(I\). Chứng minh rằng \(IC.IO = IH.CO\) và \(\angle CKH = 2.\angle IAO\).

c) Hai đường thẳng AB và D cắt nhau tại \(E\). Đường thẳng qua \(O\) vuông góc AB cắt CE tại \(M\). Tìm vị trí của \(C\) để biểu thức \(T = 9.\dfrac{{CA}}{{CM}} + \dfrac{{ME}}{{MO}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721965

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) nên \(AC \bot AB \Rightarrow \angle OAC = {90^0}\)

Tương tự \(CD\) là tiếp tuyến nên \(\angle ODC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle OAC + \angle ODC = {180^0}\) mà trong tứ giác \(AODC\) hai góc này ở vị trí đối nhau.

\( \Rightarrow AODC\) nội tiếp đường tròn.

b) Ta có \(CA = CD\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OA = OD\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow OC\) là trung trực của AD

\( \Rightarrow OC \bot AD\) tại trung điểm H của AD

Ta có OC là phân giác của góc AOD (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle AOI = \angle IOD \Rightarrow sdcungID = sdcungIA\)

\( \Rightarrow \angle CAI = \angle IAD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow AI\) là phân giác của \(\angle CAD\)

\( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IH}} = \dfrac{{AC}}{{AH}}\) (tính chất phân giác) (1)

Mà \(AH.OC = AO.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AH}} = \dfrac{{OC}}{{AO}} = \dfrac{{OC}}{{OI}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{IC}}{{IH}} = \dfrac{{OC}}{{OI}} \Leftrightarrow IC.OI = OC.IH\) (đpcm)

Ta có \(\angle AKC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle AKC = \angle CHA = {90^0}\)

\( \Rightarrow A,C,K,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính AC

\( \Rightarrow \angle CKH = {180^0} - \angle CAD = {180^0} - \dfrac{1}{2}sdcungAD = {180^0} - sdcungAI\) (3)

Ta có \(2\angle IAO = \angle IOB\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung IB)

\( \Leftrightarrow 2\angle IAO = {180^0} - \angle IOA = {180^0} - sdcungAI\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\angle CKH = 2.\angle IAO\)

c) Vì \(OM\parallel CA\) (cùng vuông góc với AB) nên \(\angle MOC = \angle OCA\) (so le trong)

Mà \(\angle MCO = \angle OCA\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó \(\angle MOC = \angle MCO\) suy ra \(\Delta MOC\) cân tại \(M\), suy ra \(MC = MO\).

Do \(MC = MO\) và \(CA = CD\) nên ta có

\(\begin{array}{l}T = 9 \cdot \dfrac{{CA}}{{CM}} + \dfrac{{ME}}{{MO}} = \dfrac{{9CA + ME}}{{MO}}\\ = \dfrac{{9CD + ME}}{{MO}} = \dfrac{{9CM + 9MD + ME}}{{MO}}\\ = 9 + \dfrac{{9.MD + ME}}{{MO}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \({\rm{ }}9.MD + ME{\rm{ }}2\sqrt {9.MD.ME} = 6.OM\)

Suy ra \(T \ge 9 + 6 = 15\).

Dấu "=" xảy ra khi \(9.MD = ME \Leftrightarrow 8.MD = DE\) mà \(DE.MD = O{D^2}\)

\( \Rightarrow O{D^2} = 8 \cdot M{D^2} \Leftrightarrow MD = \dfrac{R}{{2\sqrt 2 }}\).\( \Leftrightarrow OM = \dfrac{{3R}}{{2\sqrt 2 }}\)

Vậy GTNN của \(T = 15\) khi \(C\) trên \(d\) sao cho \(OM = \dfrac{{3R}}{{2\sqrt 2 }}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.