Trong không gian Oxyz , cho điểm $A\left( {6,4,6} \right)$và đường thẳng \(d\;:\;\;\dfrac{{x -

Câu hỏi số 723609:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho điểm $A\left( {6,4,6} \right)$và đường thẳng $d\;:\;\;\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{3}.$ $\left( P \right)$là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến $\left( P \right)$lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz - 3 = 0$ với $a,\;b,\;c$ là các số thực. Tổng $a + b + c$ là:

A. $-\dfrac{60}{7}$

B. $ - 2$

C. $0$

D. $1$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723609

Phương pháp giải

Gọi $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ và $\vec{u}$ là véctơ chỉ phương của $d$.

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Véctơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_Q = [\vec{AM}, \vec{u}]$.

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$. Ta luôn có $d(A, (P)) = AH \le AK$. Do đó, khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $AK$ khi $H \equiv K$, điều này xảy ra khi và chỉ khi mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$.

Khi đó, mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và vuông góc với $(Q)$ sẽ nhận $\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{u}]$ làm véctơ pháp tuyến.

Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_P$.

Đưa phương trình mặt phẳng $(P)$ về đúng dạng $ax + by + cz - 3 = 0$ để đồng nhất hệ số tìm $a, b, c$ và tính tổng.

Giải chi tiết

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; 0; 1)$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1; 3)$.

Ta có véctơ $\vec{AM} = (-4; -4; -5)$.

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A$ và đường thẳng $d$. Véctơ pháp tuyến của $(Q)$ là:

$\vec{n}_Q = [\vec{AM}, \vec{u}] = \left( \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -5 & -4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) = (-7; 2; 4)$

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất khi và chỉ khi $(P) \perp (Q)$.

Suy ra mặt phẳng $(P)$ nhận véctơ $\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{u}]$ làm véctơ pháp tuyến.

Ta có: $\vec{n}_P = \left( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -7 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) = (2; 29; -11)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; 0; 1)$ và có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (2; 29; -11)$ là:

$2(x - 2) + 29(y - 0) - 11(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + 29y - 11z + 7 = 0$

Theo đề bài, phương trình $(P)$ có dạng $ax + by + cz - 3 = 0$.

Nhân cả hai vế của phương trình $2x + 29y - 11z + 7 = 0$ với $-\dfrac{3}{7}$ để có hệ số tự do là $-3$, ta được:

$-\dfrac{6}{7}x - \dfrac{87}{7}y + \dfrac{33}{7}z - 3 = 0$

Đồng nhất hệ số với phương trình $ax + by + cz - 3 = 0$, ta suy ra: $a = -\dfrac{6}{7}$, $b = -\dfrac{87}{7}$, $c = \dfrac{33}{7}$.

Vậy tổng $a + b + c = -\dfrac{6}{7} - \dfrac{87}{7} + \dfrac{33}{7} = -\dfrac{60}{7}$.

Đáp án: $-\dfrac{60}{7}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.