Trong không gian $O x y z$ cho $A(1 ; 0 ; 2), B(-1 ; 2 ; 2), C(3 ; 1 ; 1)$. Gọi $M(a ; b ; c)$ là

Câu hỏi số 724403:

Vận dụng

Trong không gian $O x y z$ cho $A(1 ; 0 ; 2), B(-1 ; 2 ; 2), C(3 ; 1 ; 1)$. Gọi $M(a ; b ; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(O x z)$ sao cho biểu thức $S=2 \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{M C}+3 \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M A}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó $T=6a-5b+3c$ có giá trị là:

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724403

Giải chi tiết

Do $M(a ; b ; c)$ thuộc mặt phẳng $(O x z)$ nên $b=0 \Rightarrow M(a ; 0 ; c)$.

Ta có $\overrightarrow{M A}=(1-a ; 0 ; 2-c), \overrightarrow{M B}=(-1-a ; 2 ; 2-c), \overrightarrow{M C}=(3-a ; 1 ; 1-c)$.

$\begin{aligned} & S=2 \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{M C}+3 \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M A} \\ & =2\left(a^2-1+4-4 c+c^2\right)+\left(a^2-2 a-3+2+c^2-3 c+2\right)+3\left(a^2-4 a+3+c^2-3 c+2\right) \\ & =6 a^2+6 c^2-14 a-20 c+22=6\left(a-\dfrac{7}{6}\right)^2+6\left(b-\frac{5}{3}\right)^2-\dfrac{17}{6} \geq-\dfrac{17}{6}. \end{aligned}$

Suy ra $S$ đạt giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{17}{6}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{7}{6} \\ c=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.$.

Vậy $T=6 a-5 b+3 c=6 \cdot \dfrac{7}{6}-5 \cdot 0+3 \cdot \dfrac{5}{3}=12$.

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.