Tập nghiệm bất phương trình ${\log _5}(1 - 2x) > 1 + {\log _{\sqrt 5 }}(x + 1)$ có dạng

Câu hỏi số 724619:

Thông hiểu

Tập nghiệm bất phương trình ${\log _5}(1 - 2x) > 1 + {\log _{\sqrt 5 }}(x + 1)$ có dạng $\left( {a,b} \right)$. Tính $a.b$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724619

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình. B

iến đổi các logarit trong bất phương trình về cùng cơ số $5$.

Áp dụng công thức $\log_{a^\alpha} b = \frac{1}{\alpha} \log_a b$ và $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$.

Giải bất phương trình logarit cơ bản $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (với $a > 1$).

Kết hợp với điều kiện xác định để tìm tập nghiệm, từ đó xác định $a, b$ và tính $a.b$.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định:

$1 - 2x > 0$ và $x + 1 > 0$

$\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{2}$ và $x > -1$

$\Leftrightarrow -1 < x < \dfrac{1}{2}$

Biến đổi bất phương trình đã cho:

$\log_5(1 - 2x) > 1 + \log_{\sqrt{5}}(x + 1)$

$\Leftrightarrow \log_5(1 - 2x) > \log_5 5 + \log_{5^{\dfrac{1}{2}}}(x + 1)$

$\Leftrightarrow \log_5(1 - 2x) > \log_5 5 + 2\log_5(x + 1)$

$\Leftrightarrow \log_5(1 - 2x) > \log_5 5 + \log_5((x + 1)^2)$

$\Leftrightarrow \log_5(1 - 2x) > \log_5(5(x^2 + 2x + 1))$

$\Leftrightarrow \log_5(1 - 2x) > \log_5(5x^2 + 10x + 5)$

Do cơ số $5 > 1$ nên bất phương trình tương đương với:

$1 - 2x > 5x^2 + 10x + 5$

$\Leftrightarrow 5x^2 + 12x + 4 < 0$

$\Leftrightarrow -2 < x < -\dfrac{2}{5}$

Kết hợp với điều kiện xác định $-1 < x < \dfrac{1}{2}$, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $(-1, -\dfrac{2}{5})$.

Suy ra $a = -1$ và $b = -\dfrac{2}{5}$.

Khi đó, ta tính được: $a.b = (-1).(-\dfrac{2}{5}) = \dfrac{2}{5}$.

Đáp án cần điền là: 0,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.