Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1;\,1;\,1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{
Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1;\,1;\,1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 1\\z = - 2 + t\end{array} \right.\), \({d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3s\\y = 1\\z = 3 - s\end{array} \right.\). Gọi \(B\), \(C\) là các điểm lần lượt di động trên \({d_1}\), \({d_2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = AB + BC + CA\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Từ giả thiết suy ra hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,y = 1\) và \(A \in \left( \alpha \right)\).
+ \({d_1}\) có một véc tơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( { - 2;\,0;\,1} \right)\); \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {3;\,0;\, - 1} \right)\).
Do \(\left[ {{{\vec u}_1},\,{{\vec u}_2}} \right] = \left( {0;\,1;\,0} \right) \ne \vec 0\) nên \({d_1}\) cắt \({d_2}\).
+ Gọi \({A_1},\,{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A\) qua \({d_1}\) và \({d_2}\).
+ Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow \,\,\left( \beta \right): - 2x + z + 1 = 0\).
+ Gọi \(I = \left( \beta \right) \cap {d_1}\), thì tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 1\\z = - 2 + t\\ - 2x + z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,1;\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow {A_1}\left( { - 1;\,1;\, - 3} \right)\).
+ Gọi \(\left( \delta \right)\)là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_2}\)\( \Rightarrow \,\left( \delta \right):3x - z - 2 = 0\).
+ Gọi \(J = \left( \delta \right) \cap {d_2}\), thì tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3s\\y = 1\\z = 3 - s\\3x - z - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {2;\,1;\,4} \right)\)\( \Rightarrow {A_2}\left( {3;\,1;\,7} \right)\).
+ Ta có: \(P = AB + BC + CA = {A_1}B + BC + C{A_2} \ge {A_1}{A_2}\)
\( \Rightarrow \,P\) đạt GTNN khi \(P = {A_1}{A_2}\)\( \Rightarrow {P_{\min }} = {A_1}{A_2} = 2\sqrt {29} \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt {29} \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
