Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1;\,1;\,1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{

Câu hỏi số 726334:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( {1;\,1;\,1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 1\\z = - 2 + t\end{array} \right.\), \({d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3s\\y = 1\\z = 3 - s\end{array} \right.\). Gọi \(B\), \(C\) là các điểm lần lượt di động trên \({d_1}\), \({d_2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = AB + BC + CA\) là:

A. \(2\sqrt {29} \).

B. \(\sqrt {29} \).

C. \(\sqrt {30} \).

D. \(2\sqrt {30} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726334

Giải chi tiết

+ Từ giả thiết suy ra hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,y = 1\) và \(A \in \left( \alpha \right)\).

+ \({d_1}\) có một véc tơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( { - 2;\,0;\,1} \right)\); \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {3;\,0;\, - 1} \right)\).

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},\,{{\vec u}_2}} \right] = \left( {0;\,1;\,0} \right) \ne \vec 0\) nên \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

+ Gọi \({A_1},\,{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A\) qua \({d_1}\) và \({d_2}\).

+ Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow \,\,\left( \beta \right): - 2x + z + 1 = 0\).

+ Gọi \(I = \left( \beta \right) \cap {d_1}\), thì tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 1\\z = - 2 + t\\ - 2x + z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,1;\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow {A_1}\left( { - 1;\,1;\, - 3} \right)\).

+ Gọi \(\left( \delta \right)\)là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_2}\)\( \Rightarrow \,\left( \delta \right):3x - z - 2 = 0\).

+ Gọi \(J = \left( \delta \right) \cap {d_2}\), thì tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3s\\y = 1\\z = 3 - s\\3x - z - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {2;\,1;\,4} \right)\)\( \Rightarrow {A_2}\left( {3;\,1;\,7} \right)\).

+ Ta có: \(P = AB + BC + CA = {A_1}B + BC + C{A_2} \ge {A_1}{A_2}\)

\( \Rightarrow \,P\) đạt GTNN khi \(P = {A_1}{A_2}\)\( \Rightarrow {P_{\min }} = {A_1}{A_2} = 2\sqrt {29} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt {29} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.