Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với nửa
Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với nửa đường tròn. Gọi \(C\) là một điểm thuộc nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến tại \(C\) của nửa đường tròn cắt \(Ax\) tại \(M\). Điểm I là giao điểm của \(MB\) với đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\).
a) Chứng minh 4 điểm \(C,M,A,O\) cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh tam giác AIB vuông và \(MI.MB = C{M^2}\).
c) Từ O kẻ tia \(\;Oy\) vuông góc với CB, cắt tia MC tại N. Chứng minh NB là tiếp tuyến của đường tròn O.
Quảng cáo
a) Xét các tam giác vuông để chứng minh từng bộ 3 điểm thuộc 1 đường tròn đường kính MO.
b) Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và tam giác đồng dạng.
c) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
a) Vì \(Ax\) và \(MC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên \(Ax \bot AB;\,\,MC \bot CO\)
Khi đó \(\Delta MAO;\,\,\Delta MCO\) là các tam giác vuông.
Vì \(\Delta MAO\) vuông tại A nên M, A, O thuộc đường tròn đường kính MO.
Vì \(\Delta MCO\) vuông tại C nên M, C, O thuộc đường tròn đường kính MO.
Vậy 4 điểm \(C,M,A,O\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính MO.
b) Xét nửa đường tròn (O) có \(\angle {AIB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle {AIB} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác AIB vuông tại I.
Xét \(\Delta AMI\) và \(\Delta BMA\) có:
\(\angle {AMI}\) chung
\(\angle {AIM} = \angle {BAM} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta AMI\)~\(\Delta BMA\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{MI}}{{MA}} = \dfrac{{MA}}{{MB}}\) hay \(MI.MB = M{A^2}\)
Vì MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên \(MA = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến)
Vậy \(MI.MB = M{C^2}\) (đpcm)
c) Vì OC = OB nên tam giác OCB cân tại O, có ON là đường cao nên ON cũng là phân giác.
Suy ra \(\angle {CON} = \angle {BON}\)
Xét \(\Delta CON\) và \(\Delta BON\) có:
OB = OC (bán kính)
\(\angle {CON} = \angle {BON}\) (cmt)
ON cạnh chung
Suy ra \(\Delta CON = \Delta BON\) (c.g.c)
Khi đó \(\angle {OBN} = \angle {OCN} = 90^\circ \) hay \(NB \bot OB\)
Vậy NB là tiếp tuyến của đường tròn O.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
