Trong không gian \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A(1; - 3; - 4),\,\,B( - 2;1;2).\) Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay

Câu hỏi số 728774:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A(1; - 3; - 4),\,\,B( - 2;1;2).\) Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MN = 2.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng

A. \(3\sqrt 5 \).

B. \(\sqrt {61} \).

C. \(\sqrt {13} \).

D. \(\sqrt {53} \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728774

Giải chi tiết

Vì \({z_A}.{z_B} < 0\) nên \(A,{\bf{B}}\) nằm khác phía so với mặt phẳng \((Oxy)\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên mặt phẳng \((Oxy)\)

\( \Rightarrow H(1; - 3;0),\,\,K( - 2;1;0)\).

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \((Oxy) \Rightarrow {A_1}(1; - 3;4)\).

Gọi \({A_2}\) thỏa \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} \)\( \Rightarrow {A_1}{A_2} = 2\)

\( \Rightarrow {A_2} \in \) đường tròn \((C)\) nằm trong mặt phẳng song song với \((Oxy)\) và có tâm \({A_1},\) bán kính \(R = 2\).

Khi đó: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_1}M - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B\)

Dấu xảy ra và \({A_2}B\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {HK} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} = - \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HK} } \right|}}\overrightarrow {HK} = \left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{8}{5};0} \right)\)\( \Rightarrow {A_2}\left( {\dfrac{{11}}{5}; - \dfrac{{23}}{5};4} \right) \Rightarrow {A_2}B = \sqrt {53} \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng \(\sqrt {53} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.