Cho \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx} = a + b\sqrt

Câu hỏi số 728787:

Vận dụng

Cho $\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx} = a + b\sqrt 3 + c\pi \left( * \right).$ Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn $\left( * \right).$ Tổng $a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 31/12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728787

Giải chi tiết

$\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {4{{\tan }^2}x + 4\tan x.\cot x + {{\cot }^2}x} \right)} dx$

$= 4\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x} dx + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} 4 dx + \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^4 {{{\cot }^2}x} dx$

$= 4\left. {(\tan x - x)} \right|\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{4}}\\{\dfrac{\pi }{6}}\end{array} + \left. {4x} \right|\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{4}}\\{\dfrac{\pi }{6}}\end{array} + \left. {\left( { - \cot x - x} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\pi }{4}}\\{\dfrac{\pi }{6}}\end{array} = 3 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{{12}}.$

Ta có: $a = 3,b = - \dfrac{1}{3},c = - \dfrac{1}{{12}} \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{31}}{{12}}.$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.