Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 10

Cho \(a,\,\,b,\,\,c > 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Câu hỏi số 731382:
Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c > 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Đúng Sai
a) \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\)
b) \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\)
c) \(\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4\)
d) \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\)

Đáp án đúng là: Đ; Đ; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:731382
Giải chi tiết

a) Đúng: Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) nên \(\dfrac{a}{b} > 0,\,\,\dfrac{b}{a} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\)\( \Leftrightarrow a = b\).

b) Đúng: Vì \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} > 0\\\dfrac{b}{c} > 0\\\,\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{a}{b}\), \(\dfrac{b}{c}\) và \(\dfrac{c}{a}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3.\sqrt {\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a}\)\( \Leftrightarrow a = b = c\).

c) Đúng: Xét bất đẳng thức \(\left( {III} \right)\)

Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} > 0\\\dfrac{1}{b} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{a}\) và \(\dfrac{1}{b}\)  ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có:

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}}  \cdot 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab}}} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\).

d) Sai: \((a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; Đ; S

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn