Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 10

Cho \(a,\,\,b,\,\,c > 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Câu hỏi số 731382:
Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c > 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Đúng Sai
a) \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\)
b) \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\)
c) \(\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4\)
d) \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\)

Đáp án đúng là: Đ; Đ; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:731382
Giải chi tiết

a) Đúng: Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) nên \(\dfrac{a}{b} > 0,\,\,\dfrac{b}{a} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\)\( \Leftrightarrow a = b\).

b) Đúng: Vì \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} > 0\\\dfrac{b}{c} > 0\\\,\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{a}{b}\), \(\dfrac{b}{c}\) và \(\dfrac{c}{a}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3.\sqrt {\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a}\)\( \Leftrightarrow a = b = c\).

c) Đúng: Xét bất đẳng thức \(\left( {III} \right)\)

Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} > 0\\\dfrac{1}{b} > 0\end{array} \right.\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{a}\) và \(\dfrac{1}{b}\)  ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có:

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}}  \cdot 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab}}} \\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\).

d) Sai: \((a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; Đ; S

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn