Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC\), đường trung tuyến \(AM,N\) là trung điểm \(AC\).a)

Câu hỏi số 731638:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC\), đường trung tuyến \(AM,N\) là trung điểm \(AC\).
a) Chứng minh \(MN//AB\).
b) Trên tia đối tia \(NM\) lấy điểm \(P\) sao cho \(PN = MN\). Gọi G là giao điểm của \(PB\) và \(AN,O\) là giao điểm của \(AM\) và \(BP\). Chứng minh rằng tứ giác \(APCM\) là hình thoi và \(GB = 2GP\).
c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(D\). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt BC tại E . Chứng minh rằng tứ giác \(DNME\) là hình thang cân.

Xem lời giải

Câu hỏi:731638

Phương pháp giải

a) Dựa vào đường trung bình của tam giác.

b) Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

Dựa vào trọng tâm tam giác để chứng minh \(GB = 2GP\)

c) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) có M trung điểm AB và N trung điểm AC nên MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
Suy ra MN//AB
b) * Chứng minh hình thoi
\(MN//AB\left( {cmt} \right)\) suy ra \(MN\) vuông góc AC
Xét tứ giác AMCP ta có N là trung điểm \({\rm{MP}},{\rm{N}}\) là trung điểm AC

Khi đó tứ giác AMCP có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác AMCP là hình bình hành.
Mà MN vuông góc AC nên AMCP là hình thoi

* Chứng minh \({\rm{BG}} = 2{\rm{GP}}\)

Xét tứ giác APMB có \({\rm{AP}}//{\rm{MB}}\) và \({\rm{AP}} = {\rm{MB}}\,\,({\rm{MB}} = {\rm{MC}},{\rm{AP}} = {\rm{MC)}}\)
Suy ra APMB là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm AM và BP.

Khi đó G là trọng tâm tam giác APM .
Ta có \({\rm{PG}} = 2{\rm{GO}}\) và \({\rm{PO}} = 3{\rm{GO}}\).

Do APMB là hình bình hành nên \({\rm{BO}} = {\rm{OP}} = 3{\rm{GO}}\)

Ta có: \({\rm{BG}} = {\rm{BO}} + {\rm{GO}} = 3{\rm{GO}} + {\rm{GO}} = 4{\rm{GO}} = 2{\rm{PG}}\)
c) Ta có: DN // BC (gt) hay DN // EM

Suy ra \(DNME\) là hình thang.

Xét \(\Delta ABC\) có:

DN // BC

N là trung điểm của AC

Suy ra D là trung điểm AB

Xét \(\Delta ABC\) có D là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC nên DM là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

Khi đó \(DM = \dfrac{1}{2}AC\)

Xét \(\Delta AEC\) vuông tại E có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Suy ra \(EN = \dfrac{1}{2}AC\)

Khi đó \(DM = EN\)
Vậy hình thang DNME có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.