Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC\), đường trung tuyến \(AM,N\) là trung điểm \(AC\).a)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC\), đường trung tuyến \(AM,N\) là trung điểm \(AC\).
a) Chứng minh \(MN//AB\).
b) Trên tia đối tia \(NM\) lấy điểm \(P\) sao cho \(PN = MN\). Gọi G là giao điểm của \(PB\) và \(AN,O\) là giao điểm của \(AM\) và \(BP\). Chứng minh rằng tứ giác \(APCM\) là hình thoi và \(GB = 2GP\).
c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(D\). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt BC tại E . Chứng minh rằng tứ giác \(DNME\) là hình thang cân.
Quảng cáo
a) Dựa vào đường trung bình của tam giác.
b) Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Dựa vào trọng tâm tam giác để chứng minh \(GB = 2GP\)
c) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
a) Xét \(\Delta ABC\) có M trung điểm AB và N trung điểm AC nên MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
Suy ra MN//AB
b) * Chứng minh hình thoi
\(MN//AB\left( {cmt} \right)\) suy ra \(MN\) vuông góc AC
Xét tứ giác AMCP ta có N là trung điểm \({\rm{MP}},{\rm{N}}\) là trung điểm AC
Khi đó tứ giác AMCP có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác AMCP là hình bình hành.
Mà MN vuông góc AC nên AMCP là hình thoi
* Chứng minh \({\rm{BG}} = 2{\rm{GP}}\)
Xét tứ giác APMB có \({\rm{AP}}//{\rm{MB}}\) và \({\rm{AP}} = {\rm{MB}}\,\,({\rm{MB}} = {\rm{MC}},{\rm{AP}} = {\rm{MC)}}\)
Suy ra APMB là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm AM và BP.
Khi đó G là trọng tâm tam giác APM .
Ta có \({\rm{PG}} = 2{\rm{GO}}\) và \({\rm{PO}} = 3{\rm{GO}}\).
Do APMB là hình bình hành nên \({\rm{BO}} = {\rm{OP}} = 3{\rm{GO}}\)
Ta có: \({\rm{BG}} = {\rm{BO}} + {\rm{GO}} = 3{\rm{GO}} + {\rm{GO}} = 4{\rm{GO}} = 2{\rm{PG}}\)
c) Ta có: DN // BC (gt) hay DN // EM
Suy ra \(DNME\) là hình thang.
Xét \(\Delta ABC\) có:
DN // BC
N là trung điểm của AC
Suy ra D là trung điểm AB
Xét \(\Delta ABC\) có D là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC nên DM là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
Khi đó \(DM = \dfrac{1}{2}AC\)
Xét \(\Delta AEC\) vuông tại E có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Suy ra \(EN = \dfrac{1}{2}AC\)
Khi đó \(DM = EN\)
Vậy hình thang DNME có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
