Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên

Câu hỏi số 736251:

Vận dụng

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt \(AM = x\). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Biết \([a;+ \infty)\) là tập các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ. Tìm a.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:736251

Phương pháp giải

Tính MB theo x.

Tính diện tích các đường tròn đường kính AB, đường kính AM, đường kính MB.

Tính S(x) = diện tích hình tròn đường kính AB – (diện tích hình tròn đường kính AM + diện tích hình tròn đường kính MB).

Giải bất phương trình \(S\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\)(diện tích hình tròn đường kính AM + diện tích hình tròn đường kính MB).

Giải chi tiết

Ta có: AM = x, AB = 4 => MB = 4 – x.

Bán kính đường tròn đường kính AM là \(\dfrac{x}{2}\).

Bán kính đường tròn đường kính MB là \(\dfrac{{4 - x}}{2}\).

Diện tích hình tròn đường kính AM là: \({S_1} = \pi \dfrac{{{x^2}}}{4}.\)

Diện tích hình tròn đường kính MB là: \({S_2} = \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\).

Diện tích hình tròn đường kính AB là: \(S = \pi .4\)

\( \Rightarrow S\left( x \right) = \pi .4 - \pi .\dfrac{{{x^2}}}{4} - \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4} = \pi .\dfrac{{ - 2{x^2} - 8x + 32}}{4}\).

Yêu cầu bài toán:

\(\begin{array}{l}S\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \pi .\dfrac{{ - 2{x^2} + 8x + 32}}{4} \le \dfrac{1}{2}\left( {\pi .\dfrac{{{x^2}}}{4} + \pi .\dfrac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x + 32 \le \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x + 32 \le {x^2} - 4x + 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x - 24 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5,5\\x \le - 1,5\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(x > 0\) \( \Rightarrow x \ge 5,5.\)

Vậy \(a=5,5.\)

Đáp án cần điền là: 5,5

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.