1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B(BC > AB)\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), đường

Câu hỏi số 737482:

Vận dụng

1) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B(BC > AB)\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AC = 2R\). Kẻ dây cung \(BD\) vuông góc với \(AC,H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Trên \(HC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(H\). Đường tròn tâm \(O'\) đường kính \(EC\) cắt đoạn \(BC\) tại \(I\) (\(I\) khác \(C\)).
a) Chứng minh \(HI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(EC\).
b) Khi điểm \(B\) thay đổi thì điểm \(H\) cũng thay đổi. Tìm vị trí của điểm \(H\) trên đoạn \(AC\) để diện tích tam giác \(O'IH\) là lớn nhất.

2) Một xô bằng tôn dạng hình nón cụt (giả sử mép không đáng kể, đáy nhỏ bịt tôn) có các bán kính đáy là \(17\,cm\) và \(10\,cm\), chiều cao \(24\,cm\). Tính diện tích tôn để làm xô.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737482

Giải chi tiết

a) Vì \(\angle {EIC}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\angle {EIC} = \angle {BIE} = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle {BIE} + \angle {BHE} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BIEH\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle {HIE} = \angle {BHE} = \angle {BAH} = \angle {BCA} = \angle {ICE}.\)

\( \Rightarrow HI\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\).
b) Vì \(HI\) là tiếp tuyến của \(\left( {O'} \right)\) nên \(O'I \bot HI\) hay \(\Delta O'IH\) vuông tại \(I\).
\( \Rightarrow {S_{O'IH}} = \dfrac{1}{2} \cdot O'I \cdot HI \le \dfrac{{O'{I^2} + H{I^2}}}{4} = \dfrac{{O'{H^2}}}{4}\).
Mặt khác, lại có \(HO' = HE + O'E = \dfrac{{AE}}{2} + \dfrac{{EC}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = R \Rightarrow {S_{O'IH}} \le \dfrac{{{R^2}}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow O'I = HI = \dfrac{{EC}}{2}\).
Lại có \(\angle {HIB} = \angle {HEB} = \angle {HAB} = \angle {HBI}\) nên \(\Delta HBI\) cân tại \(H\) dẫn đến \(HI = HB\).

Do đó, \(HB = \dfrac{{EC}}{2}\).
Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\) có

\(B{H^2} = AH \cdot HC \Leftrightarrow \dfrac{{E{C^2}}}{4} = AH \cdot HC\)

Mà \(EC = HC - HE = HC - HA\) nên \(AH \cdot HC = \dfrac{{{{(HC - HA)}^2}}}{4}\)

\(\; \Rightarrow AH \cdot \left( {2R - AH} \right) = \dfrac{{{{(2R - 2AH)}^2}}}{4} = {(R - AH)^2}\)

\(\; \Rightarrow {R^2} - 4R \cdot AH + A{H^2} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow AH = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}R\,\,({\rm{Do }}\,\,{\rm{\;}}2R > AH > 0).\)

Vậy để \({S_{O'IH{\rm{max}}}} \Leftrightarrow H\) nằm trên \(AC\) sao cho \(AH = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}R\).

2) Độ dài đường sinh của chiếc xô hình nón cụt là:

\(l = \sqrt {{h^2} + {{\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}^2}} = \sqrt {{{24}^2} + {{(17 - 10)}^2}} = 25\,\,(cm)\)

Diện tích tôn để làm xô là

\(S = {S_{xq\;}} + {S_{day\;nho\;}} = \pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right)l + \pi \cdot r_1^2 = \pi \left( {17 + 10} \right).25 + 100\pi = 775\pi \approx 2433,5\,\,(c{m^2})\)

Vậy diện tích tôn để làm xô là \(2433,5\;c{m^2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link