1) Tìm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 4{y^2} = 2xy\left( {x - 2y} \right) + 5\) 2) Cho

Câu hỏi số 737547:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 4{y^2} = 2xy\left( {x - 2y} \right) + 5\)

2) Cho \(m,n\) là các số nguyên thỏa mãn số \({m^2} - mn + 4{n^2}\) chia hết cho 25.

Chứng minh số \({m^2} + mn + 4{n^2}\) chia hết cho 25.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737547

Giải chi tiết

1) Ta có \({x^2} + 4{y^2} = 2xy\left( {x - 2y} \right) + 5\)

\(\; \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} - 4 - 2xy\left( {x - 2y - 2} \right) = 1\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x - 2y + 2} \right) - 2xy\left( {x - 2y - 2} \right) = 1\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x - 2y + 2 - 2xy} \right) = 1\)

Do \(x,y\) nguyên nên ta có các trường hợp

Trường hợp 1:

\({\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y - 2 = 1}\\{x - 2y + 2 - 2xy = 1}\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow 4 - 2xy = 0 \Leftrightarrow xy = 2{\rm{\;va \;}}x - 2y = 3\)

\(\; \Rightarrow 2{y^2} + 3y - 2 = 0\)

\(\; \Rightarrow y = - 2;x = - 1\)

Trường hợp 2:

\({\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y - 2 = - 1}\\{x - 2y + 2 - 2xy = - 1}\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow 4 - 2xy = 0 \Leftrightarrow xy = 2{\rm{\;va \;}}x - 2y = 1\)

\(\; \Rightarrow 2{y^2} + 3y - 1 = 0\) (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - 1;y = - 2\)

2) Ta có \({(m + 2n)^2} - 5mn\) chia hết cho 25 nên \({(m + 2n)^2}\) chia hết cho 5 hay \(m + 2n\) chia hết cho 5 nên \({(m + 2n)^2}\) chia hết cho 25 hay \(5mn\) chia hết cho 25 hay \(mn\) chia hết cho 5.

Vì \(mn\) chia hết cho 5 nên \(m\) hoặc \(n\) chia hết cho 5 , mà \(m + 2n\) chia hết cho 5 nên suy ra cả \(m\) và \(n\) đều chia hết cho 5, từ đó \({m^2} + mn + 4{n^2}\) chia hết cho 25 do \({m^2},4{n^2},mn\) đều chia hết cho 25 khi \(m\) và \(n\) chia hết cho 5.

Vì vậy ta có \({m^2} + mn + 4{n^2}\) luôn chia hết cho 25.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link