Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(M\) nằm giữa hai điểm

Câu hỏi số 737549:

Vận dụng cao

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(B\) và \(C\). Hai đường thẳng \(AM\) và \(DC\) cắt nhau tại \(P\). Hai đường thẳng \(DM\) và \(AB\) cắt nhau tại \(K\).

1) Chứng minh tam giác \(BCK\) dồng dạng với tam giác \(CPB\)

2) Hai đường thẳng \(BP\) và \(CK\) cắt nhau tại \(H\). Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(MH\) tại \(R\). Chứng minh tam giác \(BRK\) là tam giác vuông cân

3) Các đường thẳng vuông góc với \(OH\) kẻ từ \(O\) và \(H\), cắt đường thẳng \(AB\) lần lượt tại \(X,Y\). Lấy \(Q\) thuộc tia đối của tia \(BC\) sao cho \(BQ = CM\). Chứng minh hai đường thẳng \(QR,DK\) cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MXY\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737549

Giải chi tiết

1) Ta có \(\dfrac{{BK}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{CP}}\) nên \(\dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{BP}}\).

Do đó \(\Delta BCK\)~ \(\Delta CPB\) (c.g.c)

2) Từ câu a) ta có \(\angle BHC = {90^0}\).

Do đó \(\Delta BHC\)~ \(\Delta KBC\). Ta thu được \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{BK}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{CD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\).

Suy ra \(HM\) là phân giác \(\angle BHC\).

Suy ra \(\angle MHC = {45^0} = \angle RBK\).

Suy ra tứ giác \(BRHK\) nội tiếp.

Mà \(HR\) là phân giác ngoài của \(\angle BHK\) nên \(RB = RK\).

Suy ra tam giác \(BRK\) vuông cân tại \(R\).

3) Ta có tứ giác \(MBYH\) nội tiếp nên \(\angle BYM = \angle BHM = {45^0} = \angle XBO\).

Suy ra \(BO{\rm{//}}MY\).

Lại có \(OXBM\) nội tiếp nên \(\angle OMX = \angle OBX = {45^0} = \angle BHM\) nên \(MX{\rm{//}}BH\).

Nếu \(OH{\rm{//}}AB\) thì \(XBMO\) và \(BYHM\) là hình chữ nhật

Suy ra \(BX.BY = MO \cdot MH = MB \cdot MC = BM \cdot BQ\)

Suy ra \(XMYQ\) nội tiếp.

Nếu \(OH\) giao \(AB\) tại \(T\) thì \(\dfrac{{BX}}{{MH}} = \dfrac{{TB}}{{TH}} = \dfrac{{TM}}{{TY}} = \dfrac{{OM}}{{BY}}\).

Suy ra \(BX \cdot BY = MO \cdot MH = BM \cdot BQ\).

Vậy tứ giác \(XMYQ\) nội tiếp.
Ta có \(\angle HMY = \angle HBY = \angle MXY\) nên \(MH\) là tiếp tuyến của \(\left( {MXY} \right)\).

Lại có \(HY\) là phân giác \(\angle BHK\) nên \(\angle YHB = {45^0}\), suy ra \(HB\) là phân giác \(\angle MHY\), suy ra \(BY = BM\).
\(BR\) lại là phân giác của \(\angle MBY\) nên \(RM = RY\), suy ra \(RY\) là tiếp tuyến của (\(XMY\)).

Từ đó gọi N là giao của MK với \(\left( {MXY} \right)\).

Ta có \(\angle NKR = \angle YMN = \) \(\angle NYR\), suy ra \(NYKR\) nội tiếp.

Từ đó \(\angle YNR = {180^0} - \angle YKR = {135^0} = {180^0} - \angle QMY = {180^0} - \angle QNY\)

Suy ra \(Q,N,R\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link