a) Cho \(x,y,z\) là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức \(xy - yz - zx = 3\). Chứng minh \(A = \left(

Câu hỏi số 737746:

Vận dụng

a) Cho \(x,y,z\) là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức \(xy - yz - zx = 3\). Chứng minh \(A = \left( {{x^2} - 2xz - 3} \right)\left( {{y^2} - 2yz - 3} \right)\left( { - {z^2} - 3} \right)\) là một số chính phương.
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình \(3{x^3} + 73xy + 2025 = 3{y^3}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737746

Giải chi tiết

a) Theo giả thiết, thay \(3 = xy - yz - zx\) vào biểu thức, ta có biến đổi như sau

\(\;A = \left( {{x^2} - 2xz - 3} \right)\left( {{y^2} - 2yz - 3} \right)\left( { - {z^2} - 3} \right)\)

\(\; = \left( {{x^2} - xz - xy + yz} \right)\left( {{y^2} - yz - xy + zx} \right)\left( { - {z^2} - xy + yz + zx} \right)\)

\(\; = \left( {x - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)\left( {x - z} \right)\left( {z - y} \right)\)

\(\; = {\left[ {\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)} \right]^2}.\)

Vì \(x,y,z\) là các số nguyên nên \(\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\) là số nguyên.
Do đó \(A\) là số chính phương. Bài toán được chứng minh.
b) Giả sử tồn tại \(x,y\) nguyên thoả mãn bài toán.

Đặt \(y = x + d\) ta biến đổi phương trình như sau

\(3{x^3} + 73xy + 2025 = 3{y^3}\)

\(\; \Leftrightarrow 3\left( {3{d^2}x + 3d{x^2} + {d^3}} \right) = 73x\left( {x + d} \right) + 2025\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2}\left( {9d - 73} \right) + x\left( {9{d^2} - 73d} \right) + 3{d^3} - 2025 = 0.\)

Xem như phương trình bậc 2 ẩn \(x\), ta xét biệt thức \({\rm{\Delta }}\)

\(\;\Delta = {\left( {9{d^2} - 73d} \right)^2} - 4\left( {9d - 73} \right)\left( {3{d^3} - 2025} \right).\)

\(\; = \left( {9d - 73} \right)\left( {{d^2}\left( {9d - 73} \right) - 4\left( {3{d^3} - 2025} \right)} \right)\)

\(\; = \left( {9d - 73} \right)\left( { - 3{d^3} - 73{d^2} + 2025 \cdot 4} \right)\)

\(\; = \left( {9d - 73} \right)\left( {9 - d} \right)\left( {3{d^2} + 100d + 900} \right).\)

Vì \(3{d^2} + 100d + 900 = 3{\left( {d + \dfrac{{50}}{3}} \right)^2} + \dfrac{{200}}{3} > 0\) mà \({\rm{\Delta }} \ge 0\) ta được \(\dfrac{{73}}{9} \le d \le 9\) suy ra \(d = 9\). Thay vào phương trình, ta được \(8{x^2} + 72x + 162 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{9}{2} \notin \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link