Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 8 thỏa mãn:\(\dfrac{1}{{a + b - c}} +

Câu hỏi số 737747:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 8 thỏa mãn:

\(\dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{a + c - b}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} = \dfrac{5}{4}\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{{(4 - a)}^2}}}{{\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)}} + \dfrac{{{{(4 - b)}^2}}}{{\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)}} + \dfrac{{{{(4 - c)}^2}}}{{\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737747

Giải chi tiết

Vì \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(a < b + c,b < a + c,c < a + c\) và \(a + b + c = 8\) nên ta được \(a,b,c < 4\).

Đặt \(x = 4 - a,y = 4 - b,z = 4 - c\) suy ra \(x + y + z = 4\) và \(4 > x,y,z > 0\) viết lại giả thiết thành

\(\dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{a + c - b}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{{xy + yz + zx}}{{xyz}} = \dfrac{5}{2}.\)

Biến đổi biểu thức ta được

\(\;P = \dfrac{{{{(4 - a)}^2}}}{{\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)}} + \dfrac{{{{(4 - b)}^2}}}{{\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)}} + \dfrac{{{{(4 - c)}^2}}}{{\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{{x^2}}}{{yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy}}\)

\(\; = \dfrac{{{{(x + y + z)}^3} - 3\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right) + 3xyz}}{{xyz}}\)

\(\; = \dfrac{{64}}{{xyz}} - 27.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwart

\(\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} = \dfrac{4}{{4 - z}}\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {z - 2} \right)\left( {5z - 4} \right) \le 0\)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{4}{5} \le z \le 2\)

Khi đó, \(\left( {2 - x} \right)\left( {2 - y} \right)\left( {2 - z} \right) \ge 0\) và \(\left( {5x - 4} \right)\left( {5y - 4} \right)\left( {5z - 4} \right) \ge 0\) và \(xy + yz + xz = \dfrac{5}{2}xyz\), ta được \(2 \le xyz \le \dfrac{{256}}{{125}}\)

Khi đó ta được \(\dfrac{{17}}{4} \le P \le 5\).

Giá trị lớn nhất của \(P = 5\) dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,1,2} \right)\) hay \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {3,3,2} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link