Cho lục giác đều có cạnh bằng 6 cm. Hỏi có thể đặt vào trong lục giác đó 7 hình tròn có

Câu hỏi số 737749:

Vận dụng cao

Cho lục giác đều có cạnh bằng 6 cm. Hỏi có thể đặt vào trong lục giác đó 7 hình tròn có bán kính bằng 2 cm, sao cho bất kì hai hình tròn nào trong 7 hình tròn đó không có điềm trong chung?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737749

Giải chi tiết

Ta chứng minh kết quả của bài toán là phủ định, thật vậy Xét hình lục giác đều \(ABCDEF,\) tâm \(O\) có cạnh bằng 6.

Giả sử có thể đặt vào trong hình lục giác đó 7 hình tròn có bán kính bằng 2.
Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1},{E_1},{F_1}\) trên \(OA,OB,OC,OD,OE,OF\) thỏa mãn: \(O{A_1} = O{B_1} = O{C_1} = O{D_1} = O{E_1} = O{F_1} = 3,9\).

Gọi \({O_i}\) là tâm của đường tròn thứ \(i\).

Ký hiệu \(S\) là vùng diện tích được tạo bởi các điểm \(A,{A_1},B,{B_1}, \cdots ,F,{F_1}\) (được tô bởi màu xanh lam). Nhận xét: \({O_i}\) không thuộc \(S\) với mọi \(i = 1,2, \cdots ,7\).
Chứng minh. Giả sử có \({O_1}\) thuộc \(S\), và \({O_1}\) thuộc miền \(AB{B_1}{A_1}\).

Lúc này, ta có \(d\left( {{O_1},AB} \right) = d\left( {{A_1}{B_1},AB} \right) < A{A_1} \cdot {\rm{sin}}{60^0} < 2.\)

(kí hiệu \(d\left( {AB,{A_1}{B_1}} \right)\) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(\left. {AB,{A_1}{B_1}} \right)\).

Dẫn đến \(\left( {{O_1},2} \right)\) không nằm trọn vẹn trong lục giác \(ABCDEF\) (vô lý).
Tại vì \(\left( {{O_i},2} \right),\left( {{O_j},2} \right)\) không có điểm trong chung với mọi \(i,j\) nên ta có \({O_i}{O_j} \ge 4\) với mọi \(i,j\).

Ta chia hình lục giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{E_1}{F_1}\) thành 6 hình tam giác đều có cạnh bằng 3,9

\(O{A_1}{B_1}, \cdots ,O{F_1}{A_1}.\)

Theo nguyên lý đi-rích-lê, tồn tại \({O_i},{O_j}\) cùng thuộc 1 hình tam giác, giả sử là \(O{A_1}{B_1}\).

Lúc này, áp dụng định lý côsin cho tam giác \(O{O_i}{O_j}\), ta có

\({O_i}O_j^2 = OO_i^2 + OO_j^2 - 2{\rm{cos}}\angle {{O_i}O{O_j}} \cdot O{O_i} \cdot O{O_j} \le OO_i^2 + OO_j^2 - O{O_i} \cdot O{O_j}.\)

Để chỉ ra điều vô lý, ta đặt \(O{O_i} = x,O{O_j} = y\left( {x,y \le 3,9} \right)\).

Lúc này \({x^2} + {y^2} - xy \le 3,9x + 3,9y - xy = 3,{9^2} - \left( {x - 3,9} \right)\left( {y - 3,9} \right) \le 3,{9^2}.\)

Từ đây kết hợp với (1) và \({O_i}{O_j} \ge 4\).

Ta suy ra \({4^2} \le 3,{9^2}\) (vô lý). Ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link