Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < BC < CA\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các

Câu hỏi số 737748:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < BC < CA\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các đường cao \(AD,BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Tia \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(G\), tia \(GE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(I\) (\(G\) khác \(A\) và \(I\) khác \(G\)). Gọi \(J\) là giao điểm của \(BI\) và \(EF,K\) là giao điểm của \(OA\) và \(EF\).
a) Chứng minh \(HF.CE.BC = HC.BF.EF\).
b) Chứng minh \(JE = JF\) và \(HJ{\rm{//}}DK\).
c) Gọi \(P\) là điểm đối xứng với \(O\) qua đường thẳng \(CF,Q\) là điểm đối xứng với \(O\) qua đường thẳng \(BE\) và \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\). Chứng minh \(NJ \bot EF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737748

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {BFC} = \angle {BEC} = {90^0}\), dẫn đến tứ giác \(CEFB\) nội tiếp

Suy ra \(\angle {HEF} = \angle {HCB},\angle {FBH} = \angle {ECH}.\)

Từ đây ta suy ra \(\Delta HEF\)~ \(\Delta HBC\,\,(g.g)\) dẫn đến \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{HF}}{{HB}}\).
Ta có biến đổi sau

\(EF \cdot HB = BC \cdot HF\)

\(\; \Rightarrow EF \cdot HB = BC \cdot HF\)

\(\; \Rightarrow HF \cdot BC \cdot CE = EF \cdot HB \cdot CE.\)

Do đó để hoàn tất chứng minh, ta cần chỉ ra

\(EF \cdot HB \cdot CE = HC \cdot EF \cdot BF \Leftrightarrow HB \cdot CE = HC \cdot BF.\)

Ta cũng có \(\Delta FHB\)~ \(\Delta EHC\,\,(g.g)\) suy ra \(\dfrac{{HB}}{{BF}} = \dfrac{{HC}}{{CE}}\) hay \(HC \cdot BF = CE \cdot HB\).

Bài toán được chứng minh.
b) Gọi \(R\) là trung điểm \(AH,J'\) là trung điểm \(EF\).

Vì \(\angle {AFH} + \angle {AEH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên tứ giác \(AEHF\) nội tiếp, dẫn đến \(\angle {BAH} = \angle {BEF}\) suy ra \(\Delta BAH\)~ \(\Delta BEF\) (g.g).
Khi đó, ta được \(\dfrac{{BH}}{{HA}} = \dfrac{{BF}}{{FE}} \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{HR}} = \dfrac{{BF}}{{FJ'}},\) mà \(\angle {BFJ'} = \angle {BHR}\) nên \(\Delta BFJ'\)~ \(\Delta BHR\) (c.g.c)

Suy ra \(\angle {RBH} = \angle {ABJ'}\).

Ta có \(HA \cdot HD = HB \cdot HE\) \(\; \Rightarrow 2HR \cdot HD = HB \cdot HE\)

\(\; \Rightarrow HR \cdot HG = HB \cdot HE\) (Vì H,G đối xứng với nhau qua BC).

Từ đây ta có \(RBGE\) nội tiếp, dẫn đến \(\angle {ABJ'} = \angle {RBH} = \angle {HGE} = \angle {AGI} = \angle {ABI} = \angle {ABJ},\) do đó \(J \equiv J'\), hay \(J\) là trung điểm \(EF\).

Gọi \(T\) là trực tâm tam giác \(AEF\).

Ta có \(HETF\) là hình bình hành, \(T\) thuộc \(AO\).

Ta cũng có \(\Delta AEF\)~ \(\Delta ABC\) (c.g.c).

Từ đây suy ra \(\dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AT}}{{AK}}.\)

Theo định lý Thales đảo, ta được \(HT{\rm{//}}DK\) hay \(HJ{\rm{//}}DK\).

Bài toán được chứng minh.

c) Gọi giao điểm của \(HB,HC\) với \(\left( O \right)\) lần lượt là \(B',C'.OP\) cắt \(CF\) tại \(M,OQ\) cắt \(BE\) tại \(L\).

Gọi \(X,Y\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AB\).

Lúc này ta có \(OY = FM = \dfrac{{CH}}{2}\)

\( \Rightarrow CM = CF - FM\; = CF - \dfrac{{CH}}{2}\; = FH + \dfrac{{CH}}{2}\; = \dfrac{{C'H}}{2} + \dfrac{{CH}}{2}\; = \dfrac{{CC'}}{2}.\)

Vì vậy \(M\) là trung điểm \(CC'\), tương tự \(L\) là trung điểm \(BB'\).

Lại có \(NL\) là đường trung bình ứng với đỉnh \(Q\) của tam giác \(QPO\) suy ra \(NL = \dfrac{{OP}}{2} = MO;\) \(LEXO\) là hình chữ nhật suy ra \(LE = OX\) và \(LE{\rm{//}}OX,LN{\rm{//}}OM \Rightarrow \angle {NLE} = \angle {MOX}\).
Từ đây ta suy ra \(\Delta NLE = \Delta MOX\) (c.g.c) suy ra \(NE = MX = \dfrac{{AC'}}{2}\).
Tương tự thì \(NF = \dfrac{{AB'}}{2}\).

Mặt khác \(\angle {ABE} = \angle {ACF}\) dẫn dến \(AB' = AC'\), hay \(NE = NF\) và ta rút ra được \(NJ \bot EF\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link