Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng đi qua O và song song với MA cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) tại điểm K.
a) Chứng minh MK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Từ đó suy ra OBKM là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi H là hình chiếu của M trên cạnh AB; C, D lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AM, MB và I là giao điểm của AK và MH. Chứng minh I là trung điểm của CD.
Quảng cáo
a) Theo giả thiết, ta có AM // OK nên:
\(\angle {AMO} = \angle {MOK}\) (so le trong) (1)
\(\angle {MAO} = \angle {KOB}\) (đồng vị) (2)
Mà OM = OA nên tam giác OMA cân tại O suy ra \(\angle {AMO} = \angle {MAO}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\angle {MOK} = \angle {KOB}\)
Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OBK\) có:
\(\angle {MOK} = \angle {KOB}\) (cmt)
OB = OM (gt)
OK chung
Suy ra \(\Delta OMK = \Delta OBK\) (c.g.c)
Suy ra \(\angle {OMK} = \angle {OBK}\) (hai góc tương ứng)
Mà BK là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(\angle {OBK} = {90^0}\)
Suy ra \(\angle {OMK} = {90^0}\) hay \(MK \bot OM\) tại M
Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
*) Chứng minh OBKM là tứ giác nội tiếp
Ta có \(\angle {OMK} = \angle {OBK} = {90^0}\) (cmt) nên \(\angle {OMK}\) và \(\angle {OBK}\) là các góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính OK.
Suy ra bốn điểm O, M, K, B cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy OBKM là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Kéo dài AM cắt tiếp tuyến đi qua B tại điểm N.
Trong tam giác BAN, ta có:
OK // AN (gt)
OA = OB (gt)
Suy ra KN = KB (K thuộc NB)
Trong tam giác AKN có IM // KN có:
\(\Delta AIM\)~\(\Delta AKN\) suy ra \(\dfrac{{AI}}{{AK}} = \dfrac{{IM}}{{KN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Trong tam giác AKB có IH // KB có:
\(\Delta AIH\)~\(\Delta AKB\) suy ra \(\dfrac{{AI}}{{AK}} = \dfrac{{IH}}{{KB}}\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{IM}}{{KN}} = \dfrac{{IH}}{{KB}}\)
Mà KN = KB nên IM = IH
Suy ra I là trung điểm của MH (*)
Ta có \(\angle {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB nên \(\angle {AMB} = {90^0}\)
Suy ra \(\angle {AMB} = \angle {MHC} = \angle {MDH} = {90^0}\)
Suy ra MDHC là hình chữ nhật (dhnb) (**)
Từ (*) và (**) suy ra I là trung điểm của CD (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
