Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng \(R = 6\,cm\). Người ta muốn làm một cái phễu

Câu hỏi số 738007:

Vận dụng cao

Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng \(R = 6\,cm\). Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ). Giả sử diện tích phần mép gấp là không đáng kể.

a) Tính thể tích của hình nón khi chiều dài cung tròn của phần bị cắt đi là 10 cm

b) Để hình nón có thể tích lớn nhất, chiều dài của cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu?

(Lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:738007

Giải chi tiết

a) Độ dài phần hình tròn còn lại sau khi cắt hình quạt đi là:

\(2\pi R - 10 \approx 2.3,14.6 - 10 = 27,7\,\,(cm)\)

Suy ra chu vi mặt đáy của hình nón gấp được là 27,7 cm

Bán kính mặt đáy hình nón là:

\(r \approx \dfrac{{27,7}}{{2.3,14}} \approx 4,4\,\,(cm)\)

Chiều cao của hình nón là:

\(h = \sqrt {{d^2} - {r^2}} \approx \sqrt {{6^2} - 4,{4^2}} \approx 4,1\,\,(cm)\)

Suy ra thể tích hình nón là:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \approx \dfrac{1}{3}.3,14.4,{4^2}.4,1 \approx 83,1\,\,(c{m^3})\)

b) Gọi độ dài cung tròn của phần hình quạt làm đáy hình nón là \(x\,\,(cm)\,\,(x > 0)\)

Bán kính đáy của hình nón là: \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)}^2}} = \sqrt {36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \,\,(cm)\)

Thể tích của hình nón là:

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)^2}.\sqrt {36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \\\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{3}.\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right).\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right).\sqrt {36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \end{array}\)

Theo BĐT Cauchy, ta có:

\({V^2} = 4.{\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)^2}.\dfrac{{{x^2}}}{{8\pi }}.\dfrac{{{x^2}}}{{8\pi }}.\left( {36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \le \dfrac{4}{{27}}.{\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{8\pi }} + \dfrac{{{x^2}}}{{8\pi }} + 36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right)\\ = \dfrac{4}{{27}}.{\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)^2}.36 \approx 5,8\,\,\,(c{m^3})\end{array}\)

Suy ra V_nón đạt GTLN là \(\sqrt {5,8} \approx 2,4\,\,(c{m^3})\) khi \(\dfrac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = 36 - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}\) hay \(x \approx 30,8\,\,(cm)\)

Vậy chiều dài phần cung tròn của hình quạt bị cắt là \(2\pi .6 - 30,8 \approx 6,88\,\,(cm)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link