(Chuyên Lê Hồng Phong - Tphem - 2018) Cho đồ thị \((C): y=f(x)=\sqrt{x}\). Gọi \((H)\) là hình phẳng

Câu hỏi số 739691:

Vận dụng

(Chuyên Lê Hồng Phong - Tphem - 2018) Cho đồ thị \((C): y=f(x)=\sqrt{x}\). Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\), đường thẳng \(x=9\) và trục \(O x\). Cho điểm \(M\) thuộc đồ thị \((C)\) và điểm \(A(9 ; 0)\). Gọi \(V_1\) là thể tích khối tròn xoay khi cho \((H)\) quay quanh trục \(O x, V_2\) là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(A O M\) quay quanh trục \(O x\). Biết rằng \(V_1=2 V_2\). Tính diện tích \(S\) phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(O M\).

A. \(S=3\).

B. \(S=\dfrac{27 \sqrt{3}}{16}\).

C. \(S=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\).

D. \(S=\dfrac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:739691

Giải chi tiết

Ta có \(V_1=\pi \int_0^9(\sqrt{x})^2 \mathrm{dx}=\dfrac{81 \pi}{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(O x\), đặt \(O H=m\) (với \(0<m \leq 9\) ).

Ta có \(M(m ; \sqrt{m})\), \(M H=\sqrt{m}\) và \(A H=9-m\).

Suy ra \(V_2=\dfrac{1}{3} \pi \cdot M H^2 \cdot O H+\dfrac{1}{3} \pi \cdot M H^2 \cdot A H\) \(=\dfrac{1}{3} \pi \cdot M H^2 \cdot OA=3 m \pi\).

Theo giả thiết, ta có \(V_1=2 V_2\) nên \(\dfrac{81 \pi}{2}=6 m \pi \Leftrightarrow m=\dfrac{27}{4}\).

Do đó \(M\left(\dfrac{27}{4} ; \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\).

Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là \(y=\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} x\).

Diện tích \(S\) phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(O M\) là

\(S=\int_0^{\dfrac{27}{4}}\left(\sqrt{x}-\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} x\right) \mathrm{d} x\) \(=\left.\left(\dfrac{2}{3} x \sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{3}}{9} x^2\right)\right|_0 ^{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{27 \sqrt{3}}{16}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.