Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = 2DC\). Đường thẳng

Câu hỏi số 745562:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = 2DC\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AC\) cắt cạnh \(AB\) tại \(E\). Đường thẳng qua \(E\) song song với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(F\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cắt \(AD\) tại \(M\) (M khác A).
a) Chứng minh tứ giác \(BDME\) và tứ giác \(CDMF\) là hai tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(MB = 2MA\).
c) Chứng minh \(\angle {BMD} = 2\angle {CMD}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745562

Phương pháp giải

a) Chứng minh góc ngoài góc ngoài tại một đỉnh bằng số đo góc trong của đỉnh đối diện.

b) Dựa vào tỉ số các cặp đoạn thẳng (sử dụng định lí Ta-lét).

c) Chứng minh \(\Delta EDH = \Delta FCD\) để có hai góc tương ứng bằng nhau \(\angle {HED} = \angle {DFC}\).

Giải chi tiết

a) Do tứ giác \(AEMF\) nội tiếp nên \(\angle {AME} = \angle {AFE}\).
Do \(EF//BC\) nên \(\angle {AFE} = \angle {ACB}\) (hai góc đồng vị).
Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\angle {ACB} = \angle {ABC}\).

Suy ra \(\angle {AME} = \angle {ABC}\).

Vậy tứ giác \(BDME\) là tứ giác nội tiếp.
Bằng cách chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(CDMF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác \(BDME\) nội tiếp nên \(\angle {BME} = \angle {BDE}\).

Do \(DE//AC\) nên \(\angle {BDE} = \angle {BCA}\).
Do \(EF//BC\) nên \(\angle {BCA} = \angle {EFA}\).
Theo chứng minh ở câu a), ta có \(\angle {AME} = \angle {AFE}\).

Suy ra \(\angle {BME} = \angle {AME}\).
Do đó \(ME\) là đường phân giác của tam giác \(AMB\) nên \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{EA}}{{EB}}\).

Áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác \(ABC\) với \(DE//AC\), ta có: \(\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{1}{2}\).

Suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(MB = 2MA\).

c) Tứ giác \(BDME\) nội tiếp nên \(\angle {BMD} = \angle {BED}\).
Tứ giác \(CDMF\) nội tiếp nên \(\angle {CMD} = \angle {CFD}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BD\), suy ra \(BH = HD = DC\).
Do tam giác \(EBD\) cân tại \(E\) nên \(EH\) là đường phân giác của \(\angle {BED}\)

Suy ra \(\angle {BED} = 2\angle {HED}.\)

Xét hai tam giác \(EDH\) và \(FCD\), ta có:

\(DE = CF\)(do CDEF là hình bình hành) \(\angle {EDH} = \angle {FCD};DH = CD{\rm{.}}\)

Suy ra \(\Delta EDH = \Delta FCD\) (c.g.c).

Do đó \(\angle {HED} = \angle {DFC}\).
Vậy \(\angle {BMD} = \angle {BED} = 2\angle {HED} = 2\angle {DFC} = 2\angle {CMD}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link