Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P)\) có phương trình \(y = a{x^2}\) và đường thẳng

Câu hỏi số 745580:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P)\) có phương trình \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = bx - 1\) (với \(a,b\) là các tham số). Tìm các số hữu tỉ \(a,b\) để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là \(x = \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745580

Phương pháp giải

Rút gọn x, xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Từ đó thay x vào phương trình để xác định.

Giải chi tiết

Ta có: \(x = \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = 4 - \sqrt {15} \)
Dễ thấy \(a \ne 0\) (Vì nếu \(a = 0\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại một điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\)

\(a{x^2} = bx - 1 \Leftrightarrow a{x^2} - bx + 1 = 0\left( 1 \right)\)

Do \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay \({\rm{\Delta }} > 0\)

\( \Rightarrow {b^2} - 4a > 0 \Leftrightarrow {b^2} > 4a\)

Vì hoành độ một điểm là \(x = 4 - \sqrt {15} \) là nghiệm của phương trình (1)

\(\; \Rightarrow a{(4 - \sqrt {15} )^2} - b\left( {4 - \sqrt {15} } \right) + 1 = 0\)

\(\; \Leftrightarrow 31a - 8\sqrt {15} a - 4b + \sqrt {15} b + 1 = 0\)

\(\sqrt {15} \left( {b - 8a} \right) = 4b - 31a - 1\)

Nếu \(b - 8a \ne 0 \Rightarrow \sqrt {15} = \dfrac{{4b - 31a - 1}}{{b - 18a}}\left( 2 \right)\)
Ta thấy vế trái (2) là số vô tỷ, vế phải là số hữu tỉ nên vô lý.
Nếu \(b - 8a = 0 \Rightarrow 4b - 31a - 1 = 0\)
Từ đó tìm được \(\left( {a,b} \right) = \left( {1,8} \right)\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left( {a,b} \right) = \left( {1,8} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link