Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(2n - 1\) và \(3n + 1\) là các số chính phương và \(6n -

Câu hỏi số 745582:

Vận dụng

Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(2n - 1\) và \(3n + 1\) là các số chính phương và \(6n - 13\) là số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745582

Giải chi tiết

Ta thấy hiển nhiên \(n \ge 3\) (Vì nếu \(n < 3\) thì \(6n - 13 \le - 1 < 0\) vô lý)

Đặt \(2n - 1 = {a^2},3n + 1 = {b^2}\)
Ta có: \(6n - 13 = 9\left( {2n - 1} \right) - 4\left( {3n + 1} \right) = 9{a^2} - 4{b^2} = \left( {3a - 2b} \right)\left( {3a + 2b} \right)\)

Mà \(6n - 13\) nguyên tố và \(3a + 2b > 3a - 2b,3a + 2b > 1\) nên:
\(3a - 2b = 1\) hay \(b = \dfrac{{3a - 1}}{2}\)
Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2n - 1 = {a^2}\left( 1 \right)}\\{3n + 1 = \dfrac{{{{(3a - 1)}^2}}}{4}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1) \( \Rightarrow n = \dfrac{{{a^2} + 1}}{2}\) thay vào (2) ta được: \(3.\dfrac{{{a^2} + 1}}{2} + 1 = \dfrac{{{{(3a - 1)}^2}}}{4}\)
Giải phương trình này ta được \(a = - 1\) (Loại) hoặc \(a = 3\)
Với \(a = 3 \Rightarrow n = 5\) (thỏa mãn)
Vậy \(n = 5\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link