Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Vẽ đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến tại điểm

Câu hỏi số 745967:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Vẽ đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến tại điểm \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Lấy điểm \(C\) cố định thuộc đoạn thẳng \(OA\,\,(C\) khác \(A\) và khác \(O)\). Gọi \(DE\) là dây cung thay đổi của đường tròn \(\left( O \right)\) nhưng luôn đi qua điểm \(C\) \((DE\) khác \(AB)\). Các tia \(BD\) và \(BE\) cắt đường thẳng \(d\) theo thứ tự tại các điểm \(M\) và \(N\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(DENM\) nội tiếp.
b) Gọi \(F\) là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMN\) và đường thẳng \(AB\). Chứng minh rằng \(F\) là điểm cố định và tích \(AM.AN\) không đổi khi dây cung \(DE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) thay đổi.
c) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DENM\). Xác định vị trí của dây cung \(DE\) để tổng \(IB + IM\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745967

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle BED = \angle BAD = {90^0} - \angle MAD = \angle AMD\) nên tứ giác \(MDEN\) nội tiếp.

b) Ta có \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{DA}}{{DB}}\) và \(\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{EA}}{{EB}}\) nên \(\dfrac{{AM \cdot AN}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{DA}}{{EB}} \cdot \dfrac{{EA}}{{DB}} = \dfrac{{CA}}{{CE}} \cdot \dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\).

Từ đó suy ra \(AM \cdot AN = \dfrac{{CA}}{{CB}} \cdot A{B^2}\)

Mà \(AM \cdot AN = AF \cdot AB\) nên \(AF = \dfrac{{CA}}{{CB}} \cdot AB\).

Từ đây, ta suy ra \(F\) là một điểm cố định.
c) Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(AP \cdot AQ = AM \cdot AN = AF \cdot AB = AF \cdot 2R\) và \(BP \cdot BQ = BD \cdot BM = A{B^2} = 4{R^2}\).

Như vậy \(AP \cdot AQ = 2R \cdot AF,{\rm{\;}}\left( {2R - AP} \right)\left( {2R + AQ} \right) = 4{R^2}\)

Từ đây, ta suy ra \(2R\left( {AQ - AP} \right) = AP \cdot AQ = 2R \cdot AF\).

Do đó \(AP = AQ - AF = QF\).

Bây giờ, qua điểm \(I\), kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(PQ\), cắt đường thẳng \(PQ\) tại điểm \(H\).

Khi đó, ta có \(HP = HQ\).

Suy ra \(H\) cũng là trung điểm của đoạn thẳng \(AF\), tức \(H\) là điểm cố định.
Ta có \({(AP + AQ)^2} = {(AQ - AP)^2} + 4AP \cdot AQ\) không đổi nên \(PQ\) không đổi.

Suy ra \(HP\), \(HQ\) không đổi.

Như vậy, \(P\) và \(Q\) là các điểm cố định.
Đến đây, sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có \(IM + IB = IQ + IB \ge QB\) (không đổi).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm \(I\) trung với điểm \(H\).

Mà \(OI \bot DE\) nên điều này có nghĩa là \(OH \bot DE\), hay \(AB \bot DE\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của tổng \(IM + IB\) là \(BQ\), đạt được khi \(DE \bot AB\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link