a) Giải phương trình \(12\sqrt {x + 2} + \sqrt {51 + 15x} = 3{x^2} + 2x + 17\)b) Giải hệ phương

Câu hỏi số 745966:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(12\sqrt {x + 2} + \sqrt {51 + 15x} = 3{x^2} + 2x + 17\)

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 1 + {y^2})\sqrt {x - 1} + y + 1 = {y^3} + {y^2} + xy + x}\\{x + 4\sqrt {y + 4} = 2\sqrt {x - 1} + y + 8}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745966

Giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: \(x \ge - 2\)

Với \(x \ge - 2\), phương trình đã cho tương đương với

\(4(3\sqrt {x + 2} - x - 4) + (\sqrt {51 + 15x} - x - 7) = 3{x^2} - 3x - 6\)

Hay \(\dfrac{{4( - {x^2} + x + 2)}}{{3\sqrt {x + 2} + x + 4}} + \dfrac{{ - {x^2} + x + 2}}{{\sqrt {51x + 15} + x + 7}} = 3({x^2} - x - 2)\)

Nếu \( - {x^2} + x + 2 \ne 0\), thì ta có \(\dfrac{4}{{3\sqrt {x + 2} + x + 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt {51x + 15} + x + 7}} = - 3\), mâu thuẫn vì \(VT > 0 > VP\).

Do đó \( - {x^2} + x + 2 = 0\), hay \(x \in \left\{ { - 1,2} \right\}\).

Thử lại, ta đều thấy thỏa mãn.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1\) và \(x = 2\).
b) Điều kiện xác định: \(x \ge 1,y \ge - 4\).

Phương trình đầu của hệ có thể được viết lại thành \((x - 1 + {y^2})\sqrt {x - 1} = (y + 1)(x - 1 + {y^2})\) (1)

Nếu \(x - 1 + {y^2} = 0\), thì do \(x - 1 \ge 0\) và \({y^2} = 0\) nên ta phải có \(x = 1,y = 0\).

Tuy nhiên, khi thử lại, ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(x - 1 + {y^2} \ne 0\).

Do đó, từ phương trình (1), ta suy ra \(\sqrt {x - 1} = y + 1\).

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \({(y + 1)^2} + 1 + 4\sqrt {y + 4} = 3y + 10\)

Phương trình này tương đương với \({y^2} - (y + 8 - 4\sqrt {y + 4} ) = 0\)

Hay \({y^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{y + 8 + 4\sqrt {y + 4} }}} \right) = 0\)

Vì \(y \ge - 4\) nên \(1 - \dfrac{1}{{y + 8 + 4\sqrt {y + 4} }} > 0\).

Do đó, từ phương trình trên, ta có \(y = 0\) (tương ứng \(x = 2\)).

Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right) = \left( {2,0} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link