a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \({2^x} + {3^y}\) là số chính

Câu hỏi số 745969:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \({2^x} + {3^y}\) là số chính phương.
b) Trong một hội nghị, các đại biểu đến từ \(n\) quốc gia, ngồi quanh một bàn tròn. Biết rằng với hai đại biểu cùng một quốc gia thì người ngồi cạnh bên phải họ luôn không cùng quốc gia. Hỏi, có nhiều nhất bao nhiêu đại biểu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745969

Giải chi tiết

a) Đặt \({2^x} + {3^y} = {a^2}\) với \(a\) nguyên dương.

Hiển nhiên \(a\) không chia hết cho 3 nên \(a\) chia 3 dư 1 hoặc 2 , suy ra \({a^2}\) chia 3 dư 1

Khi đó, từ phương trình, ta suy ra \({2^x}\) chia 3 dư 1.

Bây giờ, nếu \(x\) lẻ, \(x = 2k + 1\) với \(k\) tự nhiên, thì ta có \({2^x} = {4^k} \cdot 2 \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right)\), mâu thuẫn. Như vậy \(x\) là số chẵn, tức \(x = 2k\) với \(k\) nguyên dương.

Từ đây, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng \({3^y} = \left( {a - {2^k}} \right)\left( {a + {2^k}} \right)\)

Chú ý rằng \(a - {2^k}\) và \(a + {2^k}\) không cùng chia hết cho 3 (vì hiệu dương của hai số này bằng \({2^{k + 1}}\) không chia hết cho 3 ).

Ngoài ra, từ phương trình, ta suy ra \(a - {2^k}\) và \(a + {2^k}\) đều là lũy thừa của 3

Như vậy, với các nhận xét vừa nêu, cùng với chú ý \(a - {2^k} < a + {2^k}\), ta có \(a - {2^k} = 1\) và \(a + {2^k} = {3^y}\).

Suy ra \({3^y} - 1 = {2^{k + 1}}\)

Từ đây, ta có \({3^y}\) chia 4 dư 1

Nếu \(y\) lẻ, \(y = 2\ell + 1\) với \(\ell \) tự nhiên, thì \({3^y} = {9^\ell } \cdot 3 \equiv 3\left( {{\rm{mod}}4} \right)\), mâu thuẫn.

Do dó \(y\) là số chẵn, tức \(y = 2\ell \) với \(\ell \) nguyên dương.

Lúc này, phương trình (1) có thể được viết lại thành \({2^{k + 1}} = \left( {{3^\ell } - 1} \right)\left( {{3^\ell } + 1} \right)\)

Suy ra \({3^\ell } - 1\) và \({3^\ell } + 1\) đều là lũy thừa của 2

Mà hai số này cùng chẵn, không cùng chia hết cho 4 (vì hiệu dương của chúng bằng 2 không chia hết cho 4 ) và \({3^\ell } - 1 < {3^\ell } + 1\) nên \({3^\ell } - 1 = 2\), hay \(\ell = 1\).

Từ đây, ta tìm được \(x = 4\) và \(y = 2\).

Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Vậy, có duy nhất một cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\left( {x,y} \right) = \left( {4,2} \right)\).
b) Giả sử có \(n + 1\) đại biểu đến từ cùng một quốc gia, khi đó \(n + 1\) đại biểu ngồi ngay kể bên phải các đại biểu này phải đôi một khác quốc gia với nhau, mâu thuẫn vì chỉ có \(n\) quốc gia cử đại biểu tham dự hội nghị.

Như vậy, mỗi quốc gia cử không quá \(n\) đại biểu.

Suy ra số đại biểu không quá \({n^2}\).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh có thể xếp chỗ ngồi cho \({n^2}\) đại biểu, trong đó mỗi quốc gia có \(n\) đại biểu, thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Để đơn giản, ta ký hiệu \(1,2, \ldots ,n\) là mã quốc gia của các đại biểu.

Khi đó, cách xếp sau thỏa mãn yêu cầu (cách xếp dưới đây theo ngược chiều kim đồng hồ): \(1,1,2,1,3,1, \ldots ,1,n - 1,1,n;2,2,3,2,4, \ldots ,2,n - 1,2,n;3, \ldots \)

Vậy, trong hội nghị có nhiều nhất \({n^2}\) đại biểu.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link