Số lượng tế bào nấm men được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm ban đầu

Câu hỏi số 747558:

Vận dụng

Số lượng tế bào nấm men được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm ban đầu tăng nhanh nhưng cuối cùng sẽ ổn định. Số lượng quần thể được mô hình hóa bởi hàm số \(f(t) = \dfrac{a}{{1 + b{e^{ - 0,7t}}}}\). Trong đó \(t\) được đo bằng giờ. Tại thời điểm \(t = 0\), số lượng của quần thể là 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tính số lượng tế bào mà quần thể đạt được trong thời gian dài.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:747558

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình \(f(0) = 20\) và \(f'(0) = 12\) để tính \(a\) và \(b\).

Tính giới hạn hàm số \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng.

Giải chi tiết

Có \(f(t) = \dfrac{a}{{1 + b{e^{ - 0,7t}}}}\), \(f'(t) = \dfrac{{0,7ab.{e^{ - 0,7t}}}}{{{{\left( {1 + b{e^{ - 0,7t}}} \right)}^2}}}\)

Tại thời điểm \(t = 0\), số lượng của quần thể là 20 tế bào.

Suy ra \(f(0) = 20 \Leftrightarrow \dfrac{a}{{1 + b{e^{ - 0,7.0}}}} = 20\)

\(\Leftrightarrow a = 20.(1 + b)\) \((1)\)

Tại thời điểm \(t = 0\), số lượng của quần thể tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ.

Suy ra \(f'(0) = 12 \Leftrightarrow \dfrac{{0,7ab.{e^{ - 0,7.0}}}}{{{{\left( {1 + b{e^{ - 0,7.0}}} \right)}^2}}} = 12\)

\(\Leftrightarrow 0,7ab = 12.{(1 + b)^2}\) \((2)\)

Thế \((1)\) vào \((2)\), ta được

\(\begin{array}{l}0,7.20.(1 + b).b = 12.{(1 + b)^2}\\ \Leftrightarrow 14b = 12(1 + b)\\ \Leftrightarrow 2b = 12\\ \Leftrightarrow b = 6\\ \Rightarrow a = 20.(1 + 6) = 140.\end{array}\)

Ta có \(f(t) = \dfrac{{140}}{{1 + 6{e^{ - 0,7t}}}}\), \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {e^{ - 0,7t}} = 0.\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f(t) = \dfrac{{140}}{{1 + 6{e^{ - 0,7t}}}} = 140.\)

Vậy trong thời gian dài, số lượng tế bào của quần thể có thể đạt được là 140.

Đáp án cần điền là: 140

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.