Một hộp giấy hình trụ kín cả hai đầu có thể tích \(V\) cho trước. Mối
Một hộp giấy hình trụ kín cả hai đầu có thể tích \(V\) cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là \(h=k.R\). Tính \(k\).
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Thể tích hình trụ là \(V=\pi x^2 h\); diện tích toàn phần của hình trụ là \(S_{TP}=2 \pi R(h+R)\).
Khảo sát hàm số biểu diễn diện tích toàn phần để tìm k.
Đặt \(R=x\), điều kiện \(x>0\).
Có \(V=\pi x^2 h \Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi x^2} \Rightarrow \dfrac{h}{R}=\dfrac{V}{\pi x^3} \)
\(S_{TP}=2 \pi R(h+R)=2 \pi x\left(\frac{V}{\pi x^2}+x\right)=\dfrac{2 V}{x}+2 \pi x^2\)
Xét hàm số: \(f(x)=\dfrac{2 V}{x}+2 \pi x^2\) với \(x>0\).
Ta có: \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2 V}{x^2}+4 \pi x=\dfrac{4 \pi x^3-2 V}{x^2}\).
Khi đó: \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2 \pi}}\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(S_{TP}\) nhỏ nhất khi \(x=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2 \pi}}\).
Khi đó: \(\dfrac{h}{R}=\dfrac{V}{\pi \frac{V}{2 \pi}}=2\) \( \Leftrightarrow h=2 R\).
Vậy \(k=2\).
Đáp án cần điền là: 2
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
