Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {7;10;6}

Câu hỏi số 748795:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {7;10;6} \right)\). Hai điểm \(M,\,\,N\) thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 4\). Khi \(AM + BN\) nhỏ nhất, tính tổng hoành độ của \(M\) và tung độ của \(N\)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:748795

Phương pháp giải

Gọi \(H,\,\,K\) tương ứng là hình chiếu của \(A,\,\,B\) trên \(\left( {Oxy} \right)\)

Chứng minh H,K,M,N thẳng hàng

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,K\) tương ứng là hình chiếu của \(A,\,\,B\) trên \(\left( {Oxy} \right)\)

Khi đó \(H\left( {1;2;0} \right),\,\,K\left( {7;10;0} \right),\,\,AH = 3,\,\,BK = 6\)

Ta có: \(HM + MN + NK \ge HK = 10 \Rightarrow HM + NK \ge 6\)

Lại có: \(AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {H{M^2} + {3^2}} + \sqrt {N{K^2} + {6^2}} \)

Theo BĐT Minkowski ta có \(\sqrt {H{M^2} + {3^2}} + \sqrt {N{K^2} + {6^2}} \ge \sqrt {{{\left( {HM + NK} \right)}^2} + {{\left( {3 + 6} \right)}^2}} \ge \sqrt {{6^2} + {9^2}} = 3\sqrt {13} \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {H,\,\,M,\,\,N,\,\,K} \\\dfrac{{NK}}{{HM}} = \dfrac{6}{3} = 2\\HM + NK = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}HM = 2\\NK = 4\\\overline {H,\,\,M,\,\,N,\,\,K} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {HK} \\\overrightarrow {NK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {HK} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {\dfrac{{11}}{5};\dfrac{{18}}{5};0} \right)\\N\left( {\dfrac{{23}}{5};\dfrac{{34}}{5};0} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tổng hoành độ của \(M\) và tung độ của \(N\) là \(\dfrac{{11}}{5} + \dfrac{{34}}{5} = 9\)

Đáp án: \(9\)

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.