Kéo thả các số thích hợp vào các chỗ trống Cho tứ diện đều \(ABCD\)

Câu hỏi số 749142:

Vận dụng

\(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \(\sqrt 2 \) \(\dfrac{1}{2}\) \(1\)

Kéo thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a = 1\). Hai điểm \(M,N\) theo thứ tự thay đổi trên các đoạn \(AB\) và \(CD\) sao

cho \(BM = DN\). Giá trị lớn nhất của \(MN\) là , nhỏ nhất của\(MN\)là .

Đáp án đúng là: \(1\); \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749142

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{{BM}}{{BA}} = x\), với \(0 \le x \le 1\)\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DC}} = x\).

Tính MN theo x và tìm GTNN.

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{BM}}{{BA}} = x\), với \(0 \le x \le 1\)\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DC}} = x\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {DN} = x.\overrightarrow {DC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {DN} = x.\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = x(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = x.\overrightarrow {BC} + (1 - x).\overrightarrow {BD} \)

Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BC} + (1 - x).\overrightarrow {BD} - x.\overrightarrow {BA} \)

MN² = \({x^2}{a^2} + {(1 - x)^2}{a^2} + {x^2}{a^2} + 2x(1 - x)\dfrac{{{a^2}}}{2} - 2{x^2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} - 2x(1 - x)\dfrac{{{a^2}}}{2}\)

\( = \left[ {{x^2} + {{(1 - x)}^2} + {x^2} + x(1 - x) - {x^2} - x(1 - x)} \right].{a^2}\)

\( = \left[ {2{x^2} - 2x + 1} \right].{a^2}\)

Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} - 2x + 1\)trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) ta có:

\(\max f(x) = f(0) = f(1) = 1,\min f(x) = f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{2}\)

MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(n = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

MN đạt giá trị lớn nhất bằng \(m = 1\) khi \(M \equiv B,N \equiv D\) hoặc \(M \equiv A,N \equiv C\).

Đáp án cần chọn là: \(1\); \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.