Hai nhà máy được đặt tại các vị trí $A$và $B$cách nhau

Câu hỏi số 749143:

Vận dụng

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí $A$và $B$cách nhau $4{\rm{ }}km.$Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí $C$trên đường trung trực của đoạn thẳng$AB$, cách trung điểm $M$của đoạn thẳng$\;AB$ một khoảng là $3{\rm{ }}km{\rm{ }}.$Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy $A,{\rm{ }}B$ đến nhà máy xử lí nước thải$\;C$ gồm các đoạn thẳng $AI,{\rm{ }}BI$và $IC,$với $I$là vị trí nằm giữa $M$và $C.$ Cần chọn vị trí điểm $I$ để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu$km$. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A. $6,46$

B. $6,42$

C. $6,38$

D. $6,34$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749143

Phương pháp giải

- Đặt $I M=x$, biểu thị $I A+I B+I C$ thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.
- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thuộc khoảng $(a ; b)$ mà tại đó $f^{\prime}(x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính $f(a) ; f\left(x_1\right) ; f\left(x_2\right) ; \ldots ; f\left(x_n\right) ; f(b)$.
Bước 3. Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

$M=\max _{[a ; b]} f(x), m=\min _{[a ; b]} f(x)$

Giải chi tiết

Đặt $I M=x(k m)(0 \leq x \leq 3)$.

Ta có: $I A=I B=\sqrt{I M^2+M A^2}=\sqrt{x^2+4} ; I C=M C-I M=3-x$

Tổng độ dài đường ống là: $I A+I B+I C=2 \sqrt{x^2+4}+3-x$.

Xét hàm số $f(x)=2 \sqrt{x^2+4}+3-x$ trên đoạn $[0 ; 3]$.

Ta có: $f^{\prime}(x)=2 \cdot \dfrac{\left(x^2+4\right)^{\prime}}{2 \sqrt{x^2+4}}-1=2 \cdot \dfrac{2 \mathrm{x}}{2 \sqrt{x^2+4}}-1=\dfrac{2 \mathrm{x}}{\sqrt{x^2+4}}-1$ $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2 \mathrm{x}}{\sqrt{x^2+4}}=1 \Leftrightarrow 2 \mathrm{x}=\sqrt{x^2+4} \Leftrightarrow 4 \mathrm{x}^2=x^2+4 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ (loại). $f(0)=7 ; f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=3+2 \sqrt{3} ; f(3)=2 \sqrt{13}$.

Vậy $\min _{[0 ; 3]} f(x)=f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=3+2 \sqrt{3}$.

Vậy $I M=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,155(\mathrm{~km})$ thì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng $3+2 \sqrt{3} \approx 6,464(\mathrm{~km})$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.