Cho \(x > 0,y > 1\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{y^2} \cdot {\log _2}\left( {\dfrac{{xy - x}}{{2y}}} \right)

Câu hỏi số 749147:

Vận dụng cao

Cho \(x > 0,y > 1\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{y^2} \cdot {\log _2}\left( {\dfrac{{xy - x}}{{2y}}} \right) = - 2{(y - 1)^2} + \dfrac{{8{y^2}}}{{{x^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \sqrt[4]{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{{1 + 2y}}}}}} \cdot {e^{\dfrac{{{y^2}}}{{x + 1}}}}\) có dạng \({e^{\dfrac{m}{n}}}\) (trong đó \(m,n\) là các số nguyên dương, \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản). Giá trị \({m^{n - 1}}\) bằng ______ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4096

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749147

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\)

Giải chi tiết

Với \(x > 0,y > 1\), ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}{y^2} \cdot {\log _2}\left( {\dfrac{{xy - x}}{{2y}}} \right) = - 2{(y - 1)^2} + \dfrac{{8{y^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{xy - x}}{{2y}}} \right) = - 4{\left( {\dfrac{{y - 1}}{y}} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{x}{2} - 4{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^2} = {\log _2}\left( {\dfrac{y}{{y - 1}}} \right) - 4{\left( {\dfrac{{y - 1}}{y}} \right)^2}(*).\end{array}\)

Xét hàm số luôn đồng biến trên \((0; + \infty )\). Khi đó \((*)\) có nghiệm \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{y - 1}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2y}}{{y - 1}}\).

Từ \(x = \dfrac{{2y}}{{y - 1}} \Rightarrow \dfrac{x}{2}(y - 1) = y \Rightarrow a + b = ab\). Mặt khác, ta có:

\({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab \Rightarrow {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge a + b \Rightarrow {(a + b)^2} - 4(a + b) \ge 0 \Rightarrow a + b \ge 4\quad ({\rm{ do }}a + b > 0){\rm{. }}\)

Ta có: \(P = {e^{\dfrac{{{a^2}}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{1 + 2a}}}}\). Theo bất đẳng thức BCS ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{1 + 2a}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{2 + 2(a + b)}}\).

Xét hàm số luôn đồng biến trên \([4; + \infty )\). Suy ra \({\min _{[4; + \infty )}}f(t) = f(4) = \dfrac{8}{5}\).

Khi đó: \({P_{\min }} = {e^{\dfrac{8}{5}}} = {e^{\dfrac{m}{n}}} \Rightarrow m = 8,n = 5 \Rightarrow {m^{n - 1}} = {8^4} = 4096\).

Đáp án cần điền là: 4096

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.