Cho nửa đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\) và điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn đó \((M\)

Câu hỏi số 749914:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\) và điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn đó \((M\) khác \(A,B)\). Trên dây \(BM\) lấy điểm \(N\,\,(N\) khác \(B\) và \(M)\), tia \(AN\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(P\). Tia \(AM\) và tia \(BP\) cắt nhau tại \(Q\).

a) Chứng minh: Bốn điểm \(M,N,P,Q\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNQ\) đồng dạng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749914

Phương pháp giải

a) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Dựa vào định lí góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Từ đó chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp g.g.

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O) có:

\(\angle {AMB} = {90^0};\,\,\angle {APB} = {90^0}\) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\angle {NMQ} = {90^0};\,\,\angle {NPQ} = {90^0}\)

Khi đó:

\(M,N,Q\) thuộc đường tròn đường kính NQ

\(P,N,Q\) thuộc đường tròn đường kính NQ

Vậy bốn điểm \(M,N,P,Q\) cùng thuộc một đường tròn đường kính NQ.

b) Vì \(M,N,P,Q\) cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp.

Suy ra \(\angle {MQN} = \angle {MPN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN) (1)

Xét đường tròn (O) có \(\angle {MPN} = \angle {MBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {MBA} = \angle {MQN}\)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNQ\) có:

\(\angle {MBA} = \angle {MQN}\) (cmt)

\(\angle {AMB} = \angle {NMQ} = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta MAB\)~\(\Delta MNQ\) (g.g)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link