Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2,AD = 3,AA' = 4\). Gọi M là trung

Câu hỏi số 750469:

Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2,AD = 3,AA' = 4\). Gọi M là trung điểm của \(B'C'\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\). Khi đó \(2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} + 5.\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} \) bằng

\(\dfrac{{61}}{3}\)

\(\dfrac{{122}}{3}\)

\(\dfrac{{33}}{2}\)

\(33\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750469

Phương pháp giải

Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và thay vào biểu thức tính \(2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} + 5.\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} = 0\)

Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {B'M} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {B'C'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Ta có: \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} \) ( vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DCD'\))

Mà \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \) ( vì \(ADD'A'\) là hình bình hành),

\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ( do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp)

Nên \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AA'} + 3\overrightarrow {AD} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \).

Vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AA'} = 0\) ( các vectơ đôi một vuông góc)

Nên ta có:

\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} = \left( {\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right) = \dfrac{1}{3}A{B^2} + \dfrac{1}{2}A{D^2} + \dfrac{2}{3}AA{'^2}\)

\( = \dfrac{1}{3}{.2^2} + \dfrac{1}{2}{.3^2} + \dfrac{2}{3}{.4^2} = \dfrac{{33}}{2}\)

\( \Rightarrow 2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AG} + 5.\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} = 33\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.