Cho \(a,\,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(1 < a \le b \le {a^5}\). Tìm

Câu hỏi số 750485:

Thông hiểu

Cho \(a,\,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(1 < a \le b \le {a^5}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left[ {{{\log }_a}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^3} - 3{\log _{\sqrt a }}\left( {\dfrac{b}{a}} \right)\).

\( - 18\).

\( - 51\).

\( - 26\).

\(4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750485

Phương pháp giải

Biến đổi logarit để đưa P về hàm đa thức biến t với \(t = {\log _a}b\).

Giải chi tiết

Ta có: \(P = {\left[ {{{\log }_a}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^3} - 3{\log _{\sqrt a }}\left( {\dfrac{b}{a}} \right) = {\left( {2 - {{\log }_a}b} \right)^3} - 6\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)\).

Do \(1 < a \le b \le {a^5} \Rightarrow 1 \le {\log _a}b \le 5\).

Đặt \(t = {\log _a}b \Rightarrow P = - {t^3} + 6{t^2} - 18t + 14,{\rm{ }}t \in {\rm{[}}1;5]\).

Ta có: \(P' = - 3{t^2} + 12t - 18 < 0,\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\), do đó hàm \(P\left( t \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\)

Vậy \({P_{\min }} = P\left( 5 \right) = - 51\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.