Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Xét khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = x\), \(BC = y\), các cạnh còn

Câu hỏi số 750645:

Vận dụng

Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Xét khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = x\), \(BC = y\), các cạnh còn lại đều bẳng 1. Khi \(x\), \(y\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.ABC\) có giá trị lớn nhất bằng?

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

B. \(\dfrac{1}{8}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750645

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy .

Giải chi tiết

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Vì tam giác \(SAB\), \(SAC\) lần lượt cân tại \(B\) và \(C\) nên \(BM \bot SA,\,CM \bot SA\). Suy ra, \(SA \bot \left( {BMC} \right)\).

Ta có: \({V_{S.MBC}} = {V_{S.AMBC}}\) nên \({V_{S.ABC}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.AMBC}} = 2{V_{S.MBC}} = \dfrac{2}{3}.SM.{S_{\Delta MBC}}\).

Ta có: \(BM = CM = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \), tam giác \(BCM\)cân tại \(M\) nên \(MN = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \).

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{2}y\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} = \dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right)} \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}.\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right)}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) \le \dfrac{1}{{27}}\) dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất bằng \({V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt {27} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.