Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Xét khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = x\), \(BC = y\), các cạnh còn
Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Xét khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = x\), \(BC = y\), các cạnh còn lại đều bẳng 1. Khi \(x\), \(y\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.ABC\) có giá trị lớn nhất bằng?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy .
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Vì tam giác \(SAB\), \(SAC\) lần lượt cân tại \(B\) và \(C\) nên \(BM \bot SA,\,CM \bot SA\). Suy ra, \(SA \bot \left( {BMC} \right)\).
Ta có: \({V_{S.MBC}} = {V_{S.AMBC}}\) nên \({V_{S.ABC}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.AMBC}} = 2{V_{S.MBC}} = \dfrac{2}{3}.SM.{S_{\Delta MBC}}\).
Ta có: \(BM = CM = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \), tam giác \(BCM\)cân tại \(M\) nên \(MN = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \).
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{2}y\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} = \dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right)} \).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{4} + \left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}.\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right)}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4}.\dfrac{{{y^2}}}{4}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \right) \le \dfrac{1}{{27}}\) dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất bằng \({V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt {27} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
