Cho hai số thực \(x \ge 0;1 \le y \le 3\) thỏa mãn \({2^{x - 2y}}.\left( {2x + 1} \right) = 4y + 2x + 4\).

Câu hỏi số 751687:

Vận dụng

Cho hai số thực \(x \ge 0;1 \le y \le 3\) thỏa mãn \({2^{x - 2y}}.\left( {2x + 1} \right) = 4y + 2x + 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037\)? (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2025

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751687

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm mũ.

Giải chi tiết

Giả thiết cho \({2^{x - 2y}}.\left( {2x + 1} \right) = 4y + 2x + 4\)

\( \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = 2\left( {2y + x + 2} \right){2^{2y}} \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + 1}}\left( {2y + x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) suy ra

\(f'\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right){\rm{ln}}2 + {2^t} > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right) \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1\)

Suy ra: \(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037 = {2^{y - 1}} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 2037 = \dfrac{1}{4}{.2^{y + 1}} - {(y + 1)^2} + 2037\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \dfrac{1}{4}{.2^a} - {a^2};a \in \left[ {2;4} \right]\)

\(g'\left( a \right) = \dfrac{{{2^a} . {\rm{ln}}2}}{4} - 2a \Rightarrow g''\left( a \right) = \dfrac{{{2^a} . {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}2}}{4} - 2 < 0,\forall a \in \left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow g'\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2,4} \right]} g'\left( a \right) = g'\left( 2 \right) = {\rm{ln}}2 - 4 < 0\)

\( \Rightarrow g\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}g\left( a \right) = g\left( 4 \right) = - 12\)

Vậy \({\rm{min}}P = - 12 + 2037 = 2025\) khi \(y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3;x = 7\).

Đáp án: 2025

Đáp án cần điền là: 2025

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.