Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn

Câu hỏi số 751705:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751705

Phương pháp giải

Đặt ẩn và giải phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {3^t}}\\{{x^2} + {y^2} = {4^t}}\end{array}} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\({9^t} = {(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {4^t} \Rightarrow {\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^t} \le 2 \Rightarrow t \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\dfrac{9}{4}}}2.\)

Khi đó: \({x^2} + {y^2} = {4^t} \Rightarrow {x^2} \le {4^t} \le 4{\;^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}2}} \approx 1,89 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Trường hợp 1: \(x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t}}\\{{y^2} = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 2: \(x = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} - 1}\\{{y^2} = {4^t} - 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 3: \(x = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} + 1}\\{{y^2} + 1 = {4^t} \ge 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \ge 0}\\{y = {3^t} + 1}\end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 5} \right.} \right.\) mâu thuẫn với \({x^2} + {y^2} \le {4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\dfrac{3}{2}}}\sqrt 2 }}\)

Vậy có hai giá trị \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Đáp án: 2

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.