Cho tam giác ABC vuông tại \({\rm{A}}\,\,({\rm{AB}} > {\rm{AC}})\), đường cao AH. Từ B kẻ tia \(Bx \bot

Câu hỏi số 751731:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại \({\rm{A}}\,\,({\rm{AB}} > {\rm{AC}})\), đường cao AH. Từ B kẻ tia \(Bx \bot AB\), tia \(Bx\) cắt AH tại K.
a) Tứ giác \(ABKC\) là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh \(\Delta ABK\)~ \(\Delta CHA\). Từ đó suy ra \(AB.AC = AK.CH\).
c) Chứng minh \(A{H^2} = HB.HC\).

d) Giả sử \(BH = 9\;cm,\,\,HC = 16\;cm\). Tính AB, AH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751731

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(ABKC\) có hai cạnh đối song song nên là hình thang và có một góc vuông nên là hình thang vuông.
b) Chứng minh \(\Delta ABK\)~ \({\rm{\Delta }}CHA\) (g.g) suy ra tỉ số giữa các cạnh trong hai tam giác để chứng minh \(AB.AC = AK.CH\).
c) Chứng minh \({\rm{\Delta }}AHB\)~ \({\rm{\Delta }}CHA\) (g.g) từ đó suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh \(A{H^2} = HB.HC\).

d) Từ \(A{H^2} = HB.HC\) ta tính được AH, sau đó áp dụng định lí Pythagore để tính AB.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(AC \bot AB\,\,(gt),\,\,BK \bot AB\,\,(gt) \Rightarrow AC//BK\) nên tứ giác ABKC là hình thang.
Mà \(\angle A = \angle B = {90^0}\) nên \(ABKC\) là hình thang vuông.
b) Vì AC // BK nên \(\angle {CAH} = \angle {AKB}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\angle B = \angle H = {90^0}\)

\(\angle {CAH} = \angle {AKB}\) (cmt)

Suy ra \({\rm{\Delta }}ABK\)~ \({\rm{\Delta }}CHA\) (g.g)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AK}} = \dfrac{{CH}}{{CA}}\) hay \(AB.CA = AK.CH\) (đpcm)

c) Ta có:

\(\angle {HAC} + \angle {ACH} = {90^0}\)

\(\angle {ABC} + \angle {ACH} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle {HAC} = \angle {ABC}\)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\angle {AHB} = \angle {CHA} = {90^0}\)

\(\angle {HAC} = \angle {ABC}\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}AHB\)~ \({\rm{\Delta }}CHA\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CH}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = BH.CH\) (đpcm)

d) Ta có: \(A{H^2} = BH.CH = 9.16 = 144 = {12^2}\)

\( \Rightarrow AH = 12\,\,(cm)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {9^2} = 225\)

Suy ra \(AB = 15\,\,(cm)\)

Vậy \(AH = 12\;cm,\,\,AB = 15\;cm\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link