Cho đường cong \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + 3.\)

Câu hỏi số 751922:

Vận dụng

Cho đường cong \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + 3.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\) sao cho \(O,A,B\) thẳng hàng. Tổng các phần tử của \(S\) bằng (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751922

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + 3.\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)\end{array}\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\) thì \(y' = 0\)có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}{\Delta _{y'}} > 0 \Leftrightarrow 36{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.3.\left( { - 3m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow 36{m^2} - 36m + 72 > 0 \Leftrightarrow 9\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 63 > 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {2m - 1} \right)^2} + 63 > 0\,\,\forall \,\,m \in \mathbb{R}\end{array}\)

Gọi \(\left( d \right)\) là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A,B\).

Ta có:

\(\left( d \right):y = \dfrac{2}{3}\left( {c - \dfrac{{{b^2}}}{{3a}}} \right)x + d - \dfrac{{bc}}{{9a}}\)

\(= \dfrac{2}{3}\left( { - 3m - 3 - \dfrac{{9{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{3.1}}} \right)x + 3 - \dfrac{{ - 3\left( {m - 1} \right).\left( { - 3m - 3} \right)}}{{9.1}}\)

\(=2\left( { - {m^2} + m - 2} \right)x + 4 - {m^2}\)

Để \(O,A,B\) thẳng hàng thì điểm \(O\)thuộc \(\left( d \right)\).

Từ đó ta có

\({y_o} = 2\left( { - {m^2} + m - 2} \right){x_o} + 4 - {m^2} \Leftrightarrow 0 = 4 - {m^2} \Rightarrow m = \pm 2\).

Từ đó tập \(S = \left\{ {2; - 2} \right\}\).

Tổng các phần tử \(S\) là 0.

Đáp án cần điền là: 0

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.