Cho hàm số $y = f(x)\,$ có đồ thị $f'(x)\,$như hình vẽ. Có bao nhiêu

Câu hỏi số 751984:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)\,$ có đồ thị $f'(x)\,$như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in \left( { - 2022\,;\,2022} \right)$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$?

$2020$.

$2021$.

$2018$.

$2019$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751984

Giải chi tiết

Ta có $g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 2m$

Để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$

$ \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$

Xét hàm số $h\left( x \right) = f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$. Đặt $t = 2x - 3 \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)$

Khi đó ta xét hàm số $g\left( t \right) = f'\left( t \right) - \dfrac{{\dfrac{{t + 3}}{2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{t + 3}}{2}} \right)}^2}}} = f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}}$

Ta có $g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}}$.

Từ đồ thị ta thấy được $f'\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;1} \right)$ nên $f''\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$ nên

$g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}} > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$.

Nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;1} \right)$.

Nên $m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}},\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$

$ \Leftrightarrow m \ge g\left( t \right),\forall t \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 1 \right) = f'(1) - \frac{2(1)+6}{1^2+6(1)+13} = \dfrac{13}{5} = 2,6$$.

Suy ra $m \in [3;2021]$. Vậy có 2019 giá trị nguyên của $m$.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.