Cho hàm số $y = f(x)\,$ có đồ thị $f'(x)\,$như hình vẽ. Có bao nhiêu

Câu hỏi số 751984:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)\,$ có đồ thị $f'(x)\,$như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in \left( { - 2022\,;\,2022} \right)$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$?

$2020$.

$2021$.

$2018$.

$2019$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751984

Giải chi tiết

Ta có $g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 2m$

Để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$

$ \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$

Xét hàm số $h\left( x \right) = f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$. Đặt $t = 2x - 3 \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)$

Khi đó ta xét hàm số $g\left( t \right) = f'\left( t \right) - \dfrac{{\dfrac{{t + 3}}{2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{t + 3}}{2}} \right)}^2}}} = f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}}$

Ta có $g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}}$.

Từ đồ thị ta thấy được $f'\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;1} \right)$ nên $f''\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$ nên

$g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}} > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$.

Nên $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;1} \right)$.

Nên $m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}},\forall t \in \left( { - 1;1} \right)$

$ \Leftrightarrow m \ge g\left( t \right),\forall t \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 1 \right) = f'(1) - \frac{2(1)+6}{1^2+6(1)+13} = \dfrac{13}{5} = 2,6$$.

Suy ra $m \in [3;2021]$. Vậy có 2019 giá trị nguyên của $m$.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.