Cho hàm số \(y = f(x)\,\) có đồ thị \(f'(x)\,\)như hình vẽ. Có bao nhiêu

Câu hỏi số 751984:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\,\) có đồ thị \(f'(x)\,\)như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in \left( { - 2022\,;\,2022} \right)\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)?

\(2020\).

\(2021\).

\(2018\).

\(2019\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:751984

Giải chi tiết

Ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 2m\)

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x - 3} \right)\, - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\). Đặt \(t = 2x - 3 \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Khi đó ta xét hàm số \(g\left( t \right) = f'\left( t \right) - \dfrac{{\dfrac{{t + 3}}{2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{t + 3}}{2}} \right)}^2}}} = f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}}\)

Ta có \(g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}}\).

Từ đồ thị ta thấy được \(f'\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\) nên \(f''\left( t \right) > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\) nên

\(g'\left( t \right) = f''\left( t \right) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}} > 0,\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\).

Nên \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Nên \(m \ge f'\left( {2x - 3} \right)\, - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'\left( t \right) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}},\forall t \in \left( { - 1;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge g\left( t \right),\forall t \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 1 \right) = \dfrac{{18}}{5}\).

Suy ra \(m \in [4;2021]\). Vậy có 2018 giá trị nguyên của \(m\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10