Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\left( {0\,; + \infty } \right)\) thỏa

Câu hỏi số 752068:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\left( {0\,; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = \dfrac{4}{e}\) và

\(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}}\) với mọi \(x > 0\). Tính \(\int\limits_1^2 {{e^x}f\left( x \right)dx} \).

A. \(4 - \ln 4.\)

B. \(\dfrac{5}{2} - 2\ln 2.\)

C. \(4 + \ln 4.\)

D. \(\dfrac{5}{2} + 2\ln 2.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:752068

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}}\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right) + {e^x}xf'\left( x \right) = 2x + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]^\prime } = 2x + 1\)

\( \Rightarrow \int {{{\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]}^\prime }} dx = \int {\left( {2x + 1} \right)} dx\)\( \Leftrightarrow x{e^x}f\left( x \right) = {x^2} + x + C\).

Vì \(f\left( 1 \right) = \dfrac{4}{e}\) nên \(C = ef\left( 1 \right) - 2 = 2\).

Suy ra \({e^x}f\left( x \right) = x + 1 + \dfrac{2}{x}\).

Khi đó \(\int\limits_1^2 {{e^x}f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{x}} \right)} dx = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| x \right|} \right)\left| {_1^2} \right. = \)\(\dfrac{5}{2} + 2\ln 2.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10