Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh \(2m\). Từ tấm bìa này làm
Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh \(2m\). Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{b}\left( m \right)\) ( \(a,b \in \mathbb{Z};a,b\) nguyên tố cùng nhau). Tính tổng \({a^2} + {b^2}\) ?
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\). Tính thể tích theo x và khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.
Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\).
Do \(MN < IJ = \sqrt 2 \Rightarrow x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\).
Ta có: \(OK = \dfrac{x}{2};OA = \dfrac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \Rightarrow SK = AK = \sqrt 2 - \dfrac{x}{2}\).
Do vậy: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \dfrac{x}{2}} \right)}^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).
Khi đó thể tích khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \left( {x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2x\sqrt {2 - \sqrt 2 x} - {x^2}\dfrac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{4x\left( {2 - \sqrt 2 x} \right) - \sqrt 2 {x^2}}}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \dfrac{{8x - 5\sqrt 2 {x^2}}}{{3\left( {2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} } \right)}}\end{array}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - 5\sqrt 2 {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
Ta thấy thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình là
\(x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5} \Rightarrow a = 4,b = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 41\).
Đáp án cần điền là: 41
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
