Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh \(2m\). Từ tấm bìa này làm

Câu hỏi số 755654:

Vận dụng

Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh \(2m\). Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{b}\left( m \right)\) ( \(a,b \in \mathbb{Z};a,b\) nguyên tố cùng nhau). Tính tổng \({a^2} + {b^2}\) ?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755654

Phương pháp giải

Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\). Tính thể tích theo x và khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là \(x\left( m \right)\).

Do \(MN < IJ = \sqrt 2 \Rightarrow x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\).

Ta có: \(OK = \dfrac{x}{2};OA = \dfrac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \Rightarrow SK = AK = \sqrt 2 - \dfrac{x}{2}\).

Do vậy: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \dfrac{x}{2}} \right)}^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Khi đó thể tích khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \).

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - \sqrt 2 x} \left( {x \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2x\sqrt {2 - \sqrt 2 x} - {x^2}\dfrac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{4x\left( {2 - \sqrt 2 x} \right) - \sqrt 2 {x^2}}}{{2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} }}} \right) = \dfrac{{8x - 5\sqrt 2 {x^2}}}{{3\left( {2\sqrt {2 - \sqrt 2 x} } \right)}}\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - 5\sqrt 2 {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Ta thấy thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình là

\(x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5} \Rightarrow a = 4,b = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 41\).

Đáp án cần điền là: 41

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.